高三数学大一轮复习 压轴题目突破练 函数与导数教案 理 新人教a版

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1、压轴题目突破练——函数与导数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A组　专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是(　　)A．3x＋y＋2＝0B．3x－y＋2＝0C．x＋3y＋2＝0D．x－3y－2＝0答案　A解析　设切点的坐标为(x0，x＋3x－1)，则由切线与直线2x－6y＋1＝0垂直，可得切线的斜率为－3，又f′(x)＝3x2＋6x，故3x＋6x0＝－3，解得x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，从而得切线的方程为3x＋y＋2

2、＝0.2．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当ag(x)B．f(x)g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)答案　C解析　∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，∴当af(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．3．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是(　　)A．m<0B．m<1C．

3、m≤0D．m≤1答案　A解析　f′(x)＝3mx2－1，依题可得m<0.4．点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是(　　)A.(1－ln2)B.(1＋ln2)C.D.(1＋ln2)答案　B解析　将直线4x＋4y＋1＝0平移后得直线l：4x＋4y＋b＝0，使直线l与曲线切于点P(x0，y0)，由x2－y－2ln＝0得y′＝2x－，∴直线l的斜率k＝2x0－＝－1⇒x0＝或x0＝－1(舍去)，∴P，所求的最短距离即为点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离d＝＝(1＋ln2)．二、填空题(每小题5分，共15分)5．设

4、函数f(x)＝x3＋·x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是________．答案　[，2]解析　∵f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin.∵θ∈，∴θ＋∈，∴sin∈.∴f′(1)∈[，2]．6．已知f(x)＝(2x－x2)ex，给出以下四个结论：①f(x)>0的解集是{x

5、00⇔2x－x2>0⇔0

6、确．由f(x)＝(2x－x2)ex，得到f′(x)＝(2－x2)ex，令f′(x)＝0，得到x1＝－，x2＝，∵在(－∞，－)和(，＋∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减；在(－，)上f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(－)是极小值，f()是极大值，故②正确．由题意知，f()为最大值，且无最小值，故③错误，④正确．7．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．答案　2∶1解析　设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(0

7、－2)(x－6)．当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4,4∶2＝2∶1.三、解答题(共22分)8．(10分)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．解　(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋

8、(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2.令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，则当x<－或x>时，g′(x)<0，从而g(x)在区间(－∞，－)，(，＋∞)上是减函数；当－0，从而g(x)在区间(－，)上是增函数．由上述讨论知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，，2时取得，而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，因此g(

9、x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值g(2)＝.9．(12分)已知f(x)是二次函