高三数学大一轮复习 4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数教案 理 新人教a版

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1、§4.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数2014高考会这样考　1.考查三角函数的定义及应用；2.考查三角函数的符号；3.考查弧长公式、扇形面积公式．复习备考要这样做　1.理解任意角的概念，会在坐标系中表示及识别角；2.掌握三角函数的定义，这是三角函数的基石．1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β

2、β＝k·360°＋α，k∈Z}．(3)象限角：使角的顶点

3、与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝rad,1rad＝°.(3)扇形的弧长公式：l＝

4、α

5、·r，扇形的面积公式：S＝lr＝

6、α

7、·r2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝

8、.三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α

9、α≠kπ＋，k∈Z}＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线　(Ⅰ)　　　　　(Ⅱ)　(Ⅲ)　　　　　(Ⅳ)有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线[难点正本　疑点清源]1．对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同

10、于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α

11、0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α

12、k·360°<α

13、合，故正切函数的定义域为.3．三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负．(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．1．若点P在角的终边上，且

14、OP

15、＝2，则点P的坐标是________．答案　(－1，

16、)解析　∵x＝

17、OP

18、cos＝2×＝－1，y＝

19、OP

20、sin＝.∴点P的坐标为(－1，)．2．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.答案　－8解析　因为sinθ＝＝－，所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.3．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋(k∈Z)答案　C解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋π(k∈Z)，但是

21、角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．4．已知cosθ·tanθ<0，那么角θ是(　　)A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角答案　C解析　若cosθ>0，tanθ<0，则θ在第四象限；若cosθ<0，tanθ>0，则θ在第三象限，∴选C.5．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)A．1B．4C．1或4D．2或4答案　C解析　设此扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.题型一　角的有关问题例1　(1)写出终边在直线y＝x上的角

22、的集合；(2)若角θ的终边与π角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角；(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、所在的象限．思维启迪：利用终边相同的角进行表示或判断；根据角的定义可以把角放在坐标系中确定所在象限．解　(1)终边在直线y＝x上的角的集