高三数学 棱柱、棱维、球教案同步教案 新人教a版

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1、第九章直线、平面、简单几何体（三）本讲主要内容棱柱、棱维、球学习指导1．通过这一讲内容的复习，加深对棱柱、棱维、球的几何概念、性质，直观图的画法等的理解记忆，掌握有关的体积，表面积计算公式，巩固第一部分所学的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，从而进一步培养我们的空间想象能力。2．棱柱与棱锥的性质（1）棱柱：棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。（2）棱锥：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面是相似的多边形，并且它们的面积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。例题选讲例1．斜三棱

2、柱~中，各棱长都是a，（1）求证：侧面是矩形：（2）求点B到侧面的距离证明：（1）设在底，而ABC上的射影为O，连结AO，由已知，所以O是三角形ABC的外心。又AB=BC=CA所以O是三角形ABC的垂心所以所以，因为所以，所以四边形是矩形。解（2）因为所以B左侧面上的射影H即为三角形的中心，连结，在Rt中，即点B到侧面的距离为。注：（1）将柱体化为正四面体解决，比证明线面垂直要简洁；（2）在三棱锥P—ABC中，顶点P在底面ABC上的射影为O（O在三角形ABC的内部）①若PA=PB=PC，或者PA、PB、PC与底面成等角，则O是ABC的外心；②若三侧面与底面成等角，或P到底面三边等距离

3、，则O是ABC的内心；③若PA、PB、PC两两互相垂直，或有两组对棱互相垂直，则O是ABC的垂心。例2．在三棱锥P—ABC中，已知AB=1，AC=2，的平分线AD=1，且棱锥的三个侧面与底面都成角。求：（1）三棱锥的侧面积（2）三棱锥的高解：（1）设则又所以，即而，所以，所以所以过P作平面ABC，连结AO、BO，过O作于E，连结PE，由三垂线定理可知；PE，所以为侧面PAB与底面ABC所成的角即，又，，而同理可得：，由①＋②＋③得：（2）由得在中，由余弦定理得：三棱锥的各侧面与底面所成二面角相等。点应是的内心应是内切圆的半径高注：如果棱锥的各个侧面与底面成等角，容易证明：。例3．如图

4、所示，矩形ABCD所在平面，，M、N分别是AB、PC的中点。（1）求证：平面平面PCD；（2）若二面角N—MD—C为，求AB的长。证明：（1）平面ABCD是矩形平面PAD取CD的中点E，连结NE、ME是的中位线又是矩形对边中点的连线平面平面PAD平面MNE于是连结PM、MC，易知又故平面PCD解（2）连AC交ME于O，则O是AC的中点平面ABCD过O作于F，连NF，则是二面角N—DM—C的平面角，易知所以，设DE=X，则所以例4，如图，在正四棱柱ABCD~中，底面边长为，侧棱长为，E，F分别是的中点，求证：平面平面证明：因为四棱柱ABCD~，是正四棱柱，而AB=，，所以，设AC交BD

5、于O，则O是AC的中点，所以设E、F分别是AB的中点，所以EF//AC，于是，设垂足为，在对角面中，因为，OB=1，，所以，因为，，所以，因为所以，即，这样已证得，而EF与是平面内的两相交直线，于是平面，因为平面所以平面平面注：在处理比较复杂的立几问题的，由于空间图形很难真实反映元素间的位置关系，因此，若把在同一平面内的一部分图形画在辅助的平面图形上，往往可以很容易地用平面几何方法来处理。例5．在正三棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PBA的重心，E，F分别是BC，PB上的点，且求证：（1）平面GEF平面PBC；（2）GE是PG•BC的公垂线。证明：（1）因为，所以PA平面

6、PBC，连结BG并延长交PA于M，因为G是三角形PBA的重心，所以，又因为，所以，所以GF//PA，所以GF平面PBC，所以平面GFE平面PBC，（2）取EC的中点D，连结FD，因为，所以FD//PC，由PC=PB得FD=FB，E是BD的中点，所以因为平面PBC，所以EF是GE在平面PBC内的射影，于是GE，取FB的中点N，连GN，因为G是三角形PAB的重心，设，于是，所以GN//QB，所以QB，于是NGPQ，NE//PC，PC平面PAB，所以NE平面PAB，因为NG是GE在平面PAB内的射影，所以GEPQ，因此，GE是PG和BC的公垂线。例6．过正方形ABCD的顶点A作PA平面AB

7、CD，设PA=AB=a。（1）求二面角B—PC—O的大小；（2）求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小。解：（1）连结AC，BD，因为PA平面ABCD，BDAC，所以由三垂线定理知：BDPC，在平面PBC内，作BEPC，E为垂足，连结DE，得PC平面BED，从而DEPC，即角BED是三面角B—PC—D的平面角，在RtPAB中，由PA=PB=O得，PB，因为PA平面ABCD，BCAB，所以由三垂线定理得：BCPB，所以，在RtPBC中，，同理可得，在三角形