八年级数学上册 勾股定理证明教案 湘教版

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1、勾股定理【教学内容】湘教版八年级数学上册第95～98页一、教学目标1.知识与技能：使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。2．过程与方法：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。3．情感、态度与价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。2．难点：勾股定理的证明。3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，

2、但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。三、教学过程（一）、新课引入已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？（二）、探究定理1、画一画：让学生动手画一个直角边长为3cm和4cm的直角△ABC,

3、用刻度尺量出AB的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。2、做一做（1）、如图1、以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，探究这三个正方形的面积之间有什么关系。RP正方形PQR面积91625Q思考：问题1：这三个正方形的面积分别为多少？你是怎么求的？问题2：这三个正方形的面积之间满足一个什么等式？图1问题3：正方形的面积等于边长的

4、平方，那么它们的面积用边长代入得到一个什么等式？问题4：我们前面说过：在直角三角形中，我们把较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。这个三角形的三边也满足勾2+股2=弦2吗？3、议一议对于任意的直角三角形也有这个性质吗？4、猜一猜直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有a2＋b2=c2【过渡语】猜想的结论是否正确须经过严格论证。证明该结论很难，许多数学家经过

5、艰辛的努力，已想出很多种巧妙的证法，下面让大家体验一下其中的一种证法：我国三国时期的数学家赵爽创造的一种证法。5、探一探（小组活动）⑴、请同学们拿出准备好的4个全等的直角三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，三边分别标好a,b,c，拼出一个边长为c的正方形，利用面积相等进行证明（赵爽弦图，如图2）。bbbbccccaaaa图2【小组合作探究】，思考：问题1：你拼的四边形是正方形吗？为什么？问题2：图中分别有几个正方形？几个直角三角形？问题3：大正方形由哪几个图形构成？问题4：它们的面积之间满足什么样的关系？问题5：分别怎么来表示它们的面积

6、？⑵、证明：如图2左（赵爽弦图）所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正即4×ab＋（b－a）2=c2，cbCaBA化简可证。右图证明请同学们课后自己思考，教材第96－97页有另一种证法，请同学们现在用2分钟看完。6、归纳总结勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有a2＋b2=c2。图3我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？（1）介绍《周髀算经》中西周的商高（公元一千多年前）发现了勾三股四弦五这个规律（2）介绍西方毕达哥拉

7、斯于公元前582～493时期发现了勾股定理；c2=a2+b2（3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上．（4）反思：公式变形：a2=c2－b2b2=c2-a2说明：直角三角形的边长为正数，所以取算术平方根。问题1：勾股定理对所有的三角形都适用吗？为什么？问题2：勾股定理的条件是什么？结论是什么？结论：勾股定理揭示了在直角三角形中已知任意二边可以求第三边。（三）、勾股定理的应用1、例题分析：例1、如图4，在△ABC中，∠C＝900，AB=17,AC=8，求BC的长。A分析：在这个直角三角形中，已知斜边和条直角边，求另一条

8、直角边。根据勾股定817理可得图4CBBC===15方法小结：利用勾股定理建立方程。2、练习：在一个直角三角形中有二边分别是3和4，那么另一边一定是5吗？（小组合作探究）（四）解决问题：A解：如图5，在直角△ABC中AC