高中数学不等关系与不等式-例题解析

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1、不等关系与不等式-例题解析例1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述所有不等关系的不等式.假设购买单片软件和盒装磁盘分别为x片、y盒，根据题意，应有下列不等关系：（1）总费用不超过500元；（2）软件至少买3片；（3）磁盘至少买2盒.用关于x，y的不等式表示上述不等关系即可.解：设购买单片软件和盒装磁盘分别为x片、y盒，则即绿色通道解决此类问题的关键是根据题目中的限制条件列出不等式关系，从而得到不等式组.例2．已知a、b为正实数，试比较+的大小.解：（）-（）=（）+（）===.

2、∵a、b为正实数，∴+>0，>0，（）2≥0，当且仅当a=b时，等号成立.∴≥+，当且仅当a=b时取等号.绿色通道作差法比较大小的基本步骤：作差→变形→定号→下结论，其中变形的主要手段有配方、分解因式等.例3．对于实数a、b、c，有下列命题：①若a>b，则acbc2，则a>b；③若aab>b2；④若c>a>b>0，则>；⑤若a>b，>，则a>0，b>0.其中真命题的个数是（　　）A．2B．3C．4D．5思路解析紧扣不等式的基本性质，建立条件与结论之间的联系，逐个判断命题的正误.解：①c的正、负是否为零未知，因而判断ac与bc大小缺乏依据，故该命题

3、是假命题.②由ac2>bc2知c≠0，又c2>0，∴a>b，是真命题.③a2>ab，ab>b2，故该命题为真命题.④a>b>0-a<-bc-aa，∴c―a>0.∴0>0.又a>b>0，∴>.故该命题为真命题.⑤由已知条件：a>ba-b>0，>->0>0，∵a―b>0，∴b－a<0.∴ab<0.又a>b，∴a>0，b<0.故该命题为真命题.综上可知，命题②③④⑤都是真命题.答案：C绿色通道通过本题的练习，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论，在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时

4、，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定.另外，若要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推导过程应紧扣有关定理、性质等，若判断命题是假命题只需举一反例.例4．已知-≤α<β≤，求，的取值范围.这类问题是学习三角函数内容时经常遇到的，由于受当时所学内容限制，往往容易出错，这里我们在已知的基础上，运用不等式性质得出所要的结果.解：∵-≤α<β≤，∴-≤<，-<≤.两式相加，得-<<.∵-<≤，∴-≤-β<.∴-≤<.又知α<β，∴<0.故-≤<0.绿色通道求含有字母的数（式）的取值范围，一是要注意题设中的条件，充分利用条件，否则易出错，本例中如果忽略了α<β，则的范围就求不出

5、正确结果；二是在变换过程中要注意准确利用不等式的基本性质以及其他与题目相关的性质等.黑色陷阱特别注意在求的范围时用α的范围减去β的范围，应注意的是不等式只能相加，不能相减.