高考数学专题复习15空间位置关系与距离

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1、高考数学专题复习15空间位置关系与距离★★★高考在考什么【考题回放】1．已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是(B)A.平面ABC必平行于αB.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内C.平面ABC必与α相交D.平面ABC必不垂直于α2．如图，过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有(D)A.4条B.6条C.8条D.12条3．设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=Q

2、C1，则四棱锥B—APQC的体积为（C）A．B．C．D．4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若；②若③若；④若m、n是异面直线，，其中真命题是（D）A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④5．在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则()①四边形一定是平行四边形②四边形有可能是正方形③四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为①③④。（写出所有正确结论的编号）_A_B_M_D_EO_C6．如图，四面体A

3、BCD中，O、E分别BD、BC的中点,（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离.【专家解答】（I）证明：连结OC在中，由已知得而即平面（II）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角的大小为（III）设点E到平面ACD的距离为在中,而点E到平面ACD的距离为★★★高考要考什么【考点透视】判断线线、线面、面面的平行与垂

4、直，求点到平面的距离及多面体的体积。【热点透析】1．转化思想：①；②异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：①体积法；②直接法,找出点在平面内的射影★★★高考将考什么【范例1】如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．（1）证明//平面；M（2）设，证明平面．解析：（Ⅰ）取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，，又，则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.又平面CDE，EM平面

5、CDE，∴FO∥平面CDE（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，且.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而，所以EO⊥平面CDF.【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。【文】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点

6、。(Ⅰ)求证：PB⊥DM;(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角解析：方法一：（I）因为是的中点，，所以.因为平面，所以，从而平面.因为平面，所以.（II）取的中点，连结、，则，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.因为平面，所以是与平面所成的角.在中，.故与平面所成的角是.方法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则.（I）因为，所以（II）因为，所以，又因为，所以平面因此的余角即是与平面所成的角.因为，所以与平面所成的角为.【点晴】注意线线垂直常使用线面垂直得到解决，线面角关键是找到射影，遵循

7、一作二证三计算的步骤。同时使用空间向量能降低对空间想象能力的要求。【范例2】如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；（Ⅱ）证明PA⊥BD.解析：（Ⅰ）如图，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=3，四

8、棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD=（Ⅱ）法1如图，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P(0，0，3)，A(2，－3，0)，B(2，5，0)，D(－2，－3，0)所以因为所以PA⊥BD.法2：连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，得所以Rt△AEO∽Rt△BAD.得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90°所以AF⊥BD.因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的身影，所以PA⊥BD.【点晴】本小题主要考查棱锥的体积