高二数学合情推理知识精讲 苏教版

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1、高二数学合情推理知识精讲一.本周教学内容：合情推理教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。教学难点：观察与概括能力的培养。二.主要知识点1、知识结构：2、定义：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。3、推理的结构：任何推理都包含前提与结论两个部分，前提是推理的依据，结论是根据前提推得的命题。4、归纳推理（1）定义：从个别事实中推演出一般性的结论的推理通常称为归纳推理。（2）归纳推理的思维过程为：实验、观察概括、推广猜测一般结论。（3）完全归

2、纳与不完全归纳法：是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式．它由推理的前提和结论两部分构成：前提是若干已知的个别事实，是个别或特殊的判断、陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍性的陈述、判断．其思维模式是：设Mi（i＝1，2，…，n）是要研究对象M的特例或子集，若Mi（i＝1，2，…，n）具有性质P，则由此猜想M也可能具有性质P．如果＝M，这时的归纳法称为完全归纳法．由于它穷尽了被研究对象的一切特例，因而结论是正确可靠的．完全归纳法可以作为论证的方法，它又称为枚举归纳法．如果是M的真子集，这时的归纳法

3、称为不完全归纳法．由于不完全归纳法没有穷尽全部被研究的对象，得出的结论只能算猜想，结论的正确与否有待进一步证明或举反例．本节主要介绍如何运用不完全归纳法获得猜想，对于完全归纳法，将在以后结合有关内容（如分类法）进行讲解．归纳推理的特点：（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围。（2）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。因此，它不能作为数学证明的工具。（3）归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳法得到的猜想，可以

4、作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。5、类比推理（1）类比推理定义：这种由两类对象具有某些类似的特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。（2）类比推理的思维过程为：观察、比较联想、类推猜测新的结论（3）特点：①由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征，是由特殊到特殊的推理。②类比推理是一种主观的不充分的似真推理，具有猜测性，不一定可靠。还须经过严格的逻辑论证．（4）主要步骤：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②

5、用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的结论。（5）类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：（6）类比法的关键：是寻找一个合适的类比对象．按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为三个类型．例1.已知，则f1(x)=___________，f2(x)=___________，f3(x)=___________，…，f100(x)=___________.解：∵f1(x)=(sinx)′=cosx，∴f2(x)=(cosx)′=－sinx，f3(x)=(－sinx)′=－cosx，f4(x)=(－cosx)

6、′=sinx.∴fn(x)是一个以4为周期的周期函数。例2.如图有三根针和套在一根针上的若干金属片。按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。（1）每次只能移动1个金属片；（2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面。试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次?解：设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=1时，a1=1，当n=2时，a2=3，当n=3时，a2=7，当n=4时，a2=15，猜想an=2n－1。事实上，我们知道∵an+1=an+1+an，∴an＋1=2an+1，即an+1+1=2(

7、an+1).∴an+1+1=(a1+1)2n=2n+1.∴an+1=2n+1－1.∴an=2n－1。例3.已知：；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_____________________________________________________。并给出证明。答：一般形式：证明：左边=====∴原式得证说明：（将一般形式写成等均正确。例4.（1）（04北京卷）、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等

8、和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________解：（1）当n为偶数时，；当n为奇数时，说明：运用定义类比解题。（2）求数列的前n项和Sn.解：当x＝0时，Sn=0当x＝1时，Sn=2+4+…+2n=n2+n.当x＝－1时，Sn=－（2+4+…+2n）=－