高考数学复习 数列通项的求法

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1、高考数学复习数列通项的求法高考要求:掌握求数列的通项方法考点回顾:(一)求数列的通项方法1、由等差,等比定义,写出通项公式2、利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代3、一阶递推,我们通常将其化为看成{bn}的等比数列4、利用换元思想5、先猜后证:根据递推式求前几项,猜出通项,用归纳法证明6、对含an与Sn的题,进行熟练转化为同一种解题(二)主要方法:1、用观察法(不完全归纳法)求数列的通项.2、运用等差(等比)数列的通项公式.3、已知数列前项和,则(注意:不能忘记讨论)4、已知数列前项之积Tn,

2、一般可求Tn-1,则an=(注意:不能忘记讨论).5、已知,且{f(n)}成等差(比)数列,则求可用累加法.6、已知,求用累乘法.7、已知数列的递推关系,研究an与an-1的关系式的特点,可以通过变形构造,得出新数列为等差或等比数列.8、已知与的关系式,利用,将关系式转化为只含有或的递推关系,再利用上述方法求出.考点训练EG1.设{an}的首项为1的正项数列,且求它的通项公式。解:由题意a1=1,an>0,(n=1,2,3,…..)B1-1.已知数列{an},a1=2,an+1=an+3n+2,求an,解:an=(an-an

3、-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…..+(a2-a1)+a1[点评]根据数列递推公式,利用迭加(an-an-1=f(n))、迭乘(an/an-1=f(n))、迭代EG2、已知数列{an},a1=1,an+1=解法一:由(1)-(2)得:设法二:设设,法三:………[点评]注意数列解题中的换元思想,如对数列递推式,我们通常将其化为看成{bn}的等比数列B2-1、数列{an}中,a1=1,2an=B2-2、数列{an}中,a1=1,,求an,B2-3、数列{an}中,a1=1,,求an,解方法同EG2EG3

4、、(猜证)已知数列{an}满足a1=1,(1)求a2,a3,a4(2)证明:解:(1)a2=4   a3=13a4=40(2)a1,a2,a3,a4由前可知,成立假设n=k时也成立,即n=k+1时,也成立综上,B3-1、设正数数列{an}前n项和Sn,存在正数t,使得对所有自然数n,有则通过归纳猜想得到Sn并证明?解:n=1时,得a1=t,n=2时,得a2=3t,n=3时,得a2=5t,猜测an=(2n-1)t证明:n=1,2,3时,已经成立假设n=k时也成立,即ak=(2k-1)t,则Sk=k2tn=k+1时,也成立综上,

5、an=(2n-1)t,Sn=n2t[点评]用数学归纳法,由n=k证明n=k+1成立时,从递推式入手EG4、设数列{an}的首项为1,前n项和为Sn,满足关系1)求证:数列{an}是等比数列;2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=(n=2,3,4,…..)求{bn}的通项公式解(1)由又得证(2)B4-1、设数列{an}为正项数列,若对任意正整数n,an与2得等差中项等于其前n项和Sn与2的等比中项,求{an}的通项公式已知式中含有Sn与an的方程,则采用n退一或进一,再两方程相减。解:实战训练

6、1、已知数列试写出其一个通项公式:_______________.2、设a1=1,an+1=an+,则an=_________________.3已知数列满足,,则=_______4数列中,对所有的都有,则__________.5、已知数列前项和,则__________.6、在数列中,,则的值为()A.49B.50C.51D.527、数列3,5,9,17,33,…的通项公式等于()A.B.C.D.8、已知在等比数列中,各项均为正数,且则数列的通项公式是9、数列3,5,9,17,33,…的通项公式等于()A.B.C.D.10、

7、若数列的前n项和为,则()A.B.C.D.11.已知数列求数列的通项公式an.解:数列的通项:所以,又b0=-1,所以12、数列中,,求数列的通项公式由将上面各等式相加,得直击高考1.(2006年全国卷II)设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….(Ⅰ)求a1,a2;(Ⅱ){an}的通项公式..解:(Ⅰ)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S

8、2-1=a2-,于是(a2-)2-a2(a2-)-a2=0,解得a1=.(Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,即  Sn2-2Sn+1-anSn=0.当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0   ①由(Ⅰ)知S1=a1=,S2=a1+a2=

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