高考数学数列通项公式求法

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1、数列通项公式的求法数列是高中代数的重要内容之一，也是初等数学与高等数学的衔接点，因而在历年的高考试题中占有较大的比重，在这类问题中，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点。1、观察法观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的结构，纵向看各项与项数n的内在联系。适用于一些较简单、特殊的数列。例1写出下列数列的一个通项公式an：①，，，，…②1，，，，，，…解出答案来解：①注意分母分别是22，23，24，25，…，分子比分母少1，故②由奇数项特征和偶数项特征得：an=2、逐差求和法a.若数列{an}满足an+1-an=f(n)(n∈N)，其中f(n

2、)是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求an。b.适用于差为特殊数列的数列。例2求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式。解出答案来例3在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2x3n，求通项an。解出答案来注意：最后一个式子出现an-1，必须验证n=1，此时a1=1，适合上式，故an=n2-n+1。解：∵a2-a1=3-1=2a3-a2=7-3=4a4-a3=13-7=6……an-an-1=2(n-1)∴an-a1=2[1+2+3+…+(n-1)]=n2-n∴an=n2-n+1返回解：∵an+1=2an+2x3n∴an=2an-

3、1+2x3n-1∴∴……，以上(n-1)个式子相加有an=2x3n-5x2n-1，当n=1时，a1=2x31-5x20=1，适合上式，∴an=2x3n-5x2n-1。返回3、逐商求积法若数列{an}满足(n∈N)，其中数列{f(n)}前n项积可求，则通项an可用逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。例4求数列1，2，8，64，1024，…的通项公式an。解略例5在数列{an}中，a1=2，求an。解略推广：an+1=f(n)．an型一般用累乘法。4、利用Sn与an的关系利用an=可解决许多已知an与Sn的关系题目中的an。S1=a1(n=1

4、)，Sn－Sn-1(n≥2)例6设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，求数列的通项an(1994年高考题)。解出答案来例7已知数列{an}满足a1=1，Sn=n2an(n≥2)，求通项公式an。解出答案来解：由题意可知∵an+1=Sn+1-Sn(n≥1)∴∴(an+1+an)(an+1-an-4)=0∴由题意知an+1+an≠0，∴an+1-an=4即数列{an}是等差数列，其中a1=2，d=4∴an=4n-2返回解：∵an=∴an=n2an-(n-1)2an-1(n≥2)∴∴

5、以上(n-1)个式子相乘有又当n=1时，a1=1，符合题意。故该数列通项公式：1(n=1)Sn－Sn-1(n≥2)返回5、归纳法对于一些由递推关系给出的数列，可以通过先研究前n项的结构与项数n的内在联系，用不完全归纳法对an作出猜想，然后，再用数学归纳法给予证明，这个方法也是求数列通项的一种基本方法。例8在正数数列{an}中，a1=1且求an。解出答案来解：解得，a1=1然后用数学归纳法证明猜想结论的正确性。(略)返回6、构造等差、等比数列法对于一些递推关系较复杂的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的等比或等差数列，从而将问

6、题转化为前面已解决的几种情形来处理。例9已知数列{an}满足a0=4，a1=1，且an=解出答案来解：所以数列{an-an-1}(n≥2)是以首项为a2-a1=3/2，公比为q=-1/2的等比数列，继续当n=0，1时，有a0=4，a1=1，符合上式，∴该数列通项公式为：返回例10各项非0的数列{an}，首项a1=1，且2Sn2=2anSn-an(n≥2)，试求数列的通项an。解出答案来解：∵2Sn2=2Snan-an，an=Sn-Sn-1(n≥2)∴2Sn2=2Sn2-2SnSn-1-Sn+Sn-1又∵a1=S1=1不适合上式，∴数列通项公式为：

7、an=返回附：其他例子例11a1=3，an+1=2an+1，求an。例12已知a1=3，a2=7，an=3an-1-2an-2，求an。例13已知a1=－3，a2=3，且an+2=an+1-an，求an。