高二数学抛物线 直线与圆锥曲线知识精讲 人教实验版

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1、高二数学抛物线直线与圆锥曲线知识精讲一.本周教学内容：2.4抛物线2.5直线与圆锥曲线教学目的1、掌握抛物线的定义、标准方程及其几何性质；2、利用已学过的知识探究直线与圆锥曲线的关系问题。二.重点、难点：重点：（1）抛物线的定义、标准方程及其几何性质；（2）直线与圆锥曲线的位置关系问题及直线与圆锥曲线相交所得弦的性质的探讨。难点：（1）抛物线的标准方程的推导及其几何性质的应用；（2）直线与圆锥曲线相交所得弦的性质的探讨。三.知识分析（一）抛物线1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（F

2、l）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。说明与思考：（1）该定义用符号表示为：（其中d＝

3、MN

4、表示点M到直线l的距离）（2）同学们想一想，如果不强调“在平面内”，会得到什么？（3）如果定点F在直线l上，我们将得到什么？（过F且垂直于l的直线）因此在定义中我们强调了“Fl”。（4）过F向l作垂线FK，与抛物线交于点O，研究一下F，O，K三点有什么关系？（5）根据作图过程，思考一下直线FK与抛物线有什么关系？图1（6）如图2，在直线l上有一动点N，过N与

5、l垂直的直线与线段NF的垂直平分线交于点M，请同学们研究一下，动点M的轨迹是什么？（显然，点M到直线l的距离等于

6、MF

7、，从而点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线）2、抛物线的标准方程推导方法：求曲线方程的一般步骤。建系：由定义可知直线KF是曲线的对称轴；所以把KF作为x轴可以使方程不出现y的一次项。因为线段KF的中点适合条件，所以它在抛物线上。因而以KF的中点为原点，就不会出现常数项。这样建立坐标系，得出的方程形式比较简单。（如图3）图3设标：设抛物线上动点M的坐标为（x，y）列关系：写

8、方程：我们设焦点到准线的距离为

9、KF

10、=p（p>0），这样p的集合意义也就明确了，于是我们顺势得出焦点F和准线。这样，，而我们就得到了方程：化简，整理：说明：它表示焦点在x轴正半轴上，坐标是，准线是的抛物线。事实上，抛物线的焦点还可以在x轴的负半轴、y轴的正半轴、y轴的负半轴上，会得到不同形式的抛物线的标准方程。3、设抛物线的焦点到准线的距离为p（p>0），它的标准方程的四种形式及几何性质列表如下：图形标准方程y2=2px（p>0）y2=－2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=－2py（p>

11、0）对称轴x轴y轴顶点原点离心率e=1（即所有的抛物线形状都相同）焦点坐标准线方程4、几个有用的结论：（1）顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线可设为y2=mx或x2=my。（2）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦叫做抛物线的“通径”，利用抛物线的定义我们可以得到：抛物线的通径长等于其焦准距的2倍。如抛物线y2=2px（p>0）的通径长等于2p。（3）设直线L为抛物线y2=2px（p>0）过焦点的一条直线，且该直线与抛物线交于两点M，N，则利用抛物线的定义我们也可以得到，其中分别表示点M，N的横坐标。

12、5、抛物线与双曲线比较：（1）从圆锥曲线的定义来看，虽然双曲线与抛物线有其共同点，但由于比值e的取值不同，从而双曲线与抛物线上的点的性质存在着差异；（2）曲线的延伸趋势不相同，当抛物线y2=2px（p>0）上的点趋于无穷远时，它在这一点切线的斜率接近于x轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于与x轴平行；而双曲线上的点趋近于无穷远时，它的切线的斜率接近于它的渐近线的斜率；（3）双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线。6、抛物线定义的应用（1）判断曲线类型【例1】如图4所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1

13、中，点P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解：由于D1C1⊥面BB1C1B，所以P到直线C1D1的距离等于P到点C1的距离。因此，“P到直线BC与直线C1D1的距离相等”实际上就是“P到定点C1的距离与到定直线BC的距离相等”。由于点P、点C1及直线BC在同一平面BB1C1C内，所以点P的轨迹所在的曲线是抛物线，选D。（2）求最值由于抛物线上的点到焦点的距离等于到其准线的距离，因此，在解决有关抛物线的

14、最值问题时，合理转化，化折（线）为直（线），往往可以避繁就简，快速求解。【例2】若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上一动点，则

15、PA

16、+

17、PF

18、取得最小值时，点P的坐标是（）A.（0，0）B.（1，1）C.（2，2）D.（0.5，1）解：如图5，点A在抛物线内部。由抛物线的定义知：

19、PF

20、等于P到准线的距离。图5根据几何关系易知

21、PA

22、+

23、PF

24、的最小值是由A点向抛物线的准线作垂线（B为垂足）时垂线段AB的长度。从而求得AB与抛物线的交点为（2，2），故选C。