高二数学利用圆锥曲线的定义解题知识精讲 人教版

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1、高二数学利用圆锥曲线的定义解题知识精讲人教版一.本周教学内容：专题讲座《利用圆锥曲线的定义解题》二.复习：椭圆、双曲线、抛物线、圆锥曲线的统一定义。1.椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(a>0)，（2a>

2、F1F2

3、）的点的轨迹叫椭圆。注：（1）2a>

4、F1F2

5、时，动点的轨迹是椭圆；（2）2a=

6、F1F2

7、时，动点的轨迹是线段；（3）2a<

8、F1F2

9、时，动点无轨迹。2.椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（0

10、椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率。3.双曲线的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数2a（2a<

11、F1F2

12、）的点的轨迹叫做双曲线。注：（1）2a<

13、F1F2

14、时，动点的轨迹是双曲线；（2）2a=

15、F1F2

16、时，动点的轨迹是两条射线；（3）2a>

17、F1F2

18、时，动点无轨迹。4.双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e(e>1)的点的轨迹叫双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。5.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨

19、迹叫抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫抛物线的准线。（要求定点F不在定直线l上）。6.圆锥曲线的统一定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离之比等于常数e的动点的轨迹。（1）当01时，表示双曲线。这三种曲线合在一起，称为圆锥曲线。三.典型例题分析：例1.选择题（）A.10B.12C.20D.16（）=6，设F2是右焦点，则△ABF2的周长为（）A.16B.22C.28D.32△F1PF2的面积为（）5.动点P到点A（0，2）的距离比到直线l：y=-4的距离小

20、2，则动点P的轨迹方程是（）A.y2=4xB.y2=8xC.x2=4yD.x2=8y6.若抛物线y2=2px（p>0）上三点的纵坐标的平方成等差数列，则三点对应的焦半径的关系是（）A.成等比数列；B.成等差数列；C.成常数列；D.以上均不对。解1：结合椭圆的图形可知，△ABF2的周长应等于4a∴选C。解2：先用椭圆的第二定义求出点P到左焦点的距离∴

21、PF1

22、=2再用椭圆的第一定义求点P到右焦点的距离∴选（A）解3：依题意：

23、AF2

24、-

25、AF1

26、=2a（1）

27、BF2

28、-

29、BF1

30、=2a（2）（1）+（2）

31、AF2

32、+

33、BF2

34、=4a

35、+

36、AB

37、

38、AF2

39、+

40、BF2

41、+

42、AB

43、=4a+2

44、AB

45、∵a=4∴4a=16∵

46、AB

47、=6∴2

48、AB

49、=12∴△ABF2的周长=16+12=28∴选（C）解4：设

50、PF1

51、=m，

52、PF2

53、=n∴选（D）解5：依题意：动点到点A（0，2）的距离比到直线y=-4的距离小2，因此，动点到定点A（0，2）的距离与到定直线y=-2的距离相等，由抛物线定义知，动点P的轨迹是顶点在原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线。∴选（D）解6：设P1（x1，y1）P2（x2，y2），P3（x3，y3）∴三个焦半径成等差数列∴选（B）例2.设动圆M与圆C：

54、(x+4)2+y2=100相内切，且过点A（4，0），求这个动圆圆心M的轨迹方程。解：设：动圆圆心M（x，y），切点为P则：C、M、P三点共线由椭圆的第一定义知，动点M的轨迹是以定点C，A为焦点，中心在原点的椭圆。例3.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。分析：解本题的关键是寻找动点M满足的条件，对于圆与圆的相切问题，自然要考虑圆心距与半径的关系。解：设动圆圆心M（x，y），动圆M与C1、C2的切点分别为A、B则：

55、MC1

56、-

57、AC1

58、=

59、M

60、A

61、，

62、MC2

63、-

64、BC2

65、=

66、MB

67、又∵

68、MA

69、=

70、MB

71、∴

72、MC2

73、-

74、MC1

75、=

76、BC2

77、-

78、AC1

79、=3-1=2即

80、MC2

81、-

82、MC1

83、=2，又∵

84、C1C2

85、=6由双曲线定义知：动点M的轨迹是以C1、C2为焦点中心在原点的双曲线的左支。∵2a=2，2c=6∴a=1，c=3∴b2=8说明：由于动点M到两定点C1、C2的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支。例4.已知△ABC的三边a,b,c（a>b>c）成等差数列，两顶点A、C的坐标分别为A（-1，0），C（1，0），求△ABC重心G的轨迹方

86、程。分析：把已知条件标在坐标系中，可知这是一个求双动点的轨迹方程的问题，即：应先求出动点B的轨迹方程，再求△ABC的重心G的轨迹方程，这样思路就清楚了。解：∵△ABC的三边a,b,c成等差数列∴2b=a+c即2

87、AC

88、=

89、BA

90、+

91、BC

92、=4由椭圆