高中数学等差数列的前n项和(1)

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1、等差数列的前n项和(1)教学目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识.教学重点：等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：（1）an－an－1＝d(n≥1)，d为常数.（2）若a，A，b为等差数列，则A＝.（3)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.（其中m，n，p，q均为正整数）Ⅱ.

2、讲授新课随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.例：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？首先，我们来看这样一个问题

3、：1＋2＋3＋…＋100＝？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，……第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是101×＝5050.这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k

4、项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an①把项的次序反过来，Sn又可写成Sn＝an＋an－1＋…＋a1②①＋②2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)又∵a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝…＝an＋a1∴2Sn＝n(a1＋an)即：Sn＝若根据等差数列{an}的通项公式，Sn可写为：Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n－1

5、)d]①,把项的次序反过来，Sn又可写为：Sn=an+(an－d)+…+[an－(n－1)d②],把①、②两边分别相加，得2Sn＝＝n(a1＋an)即：Sn＝.由此可得等差数列{an}的前n项和的公式Sn＝.也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.用这个公式来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S100＝＝5050.又∵an＝a1+(n－1)d,∴Sn＝＝＝na1＋d∴Sn＝或Sn＝na1＋d有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？分析题意可知，这个V形架

6、上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{an}，其中a1＝1，a120＝120，n＝120.解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{an}，其中n＝120，a1＝1，a120＝120.则：S120＝＝7260答案：这个V形架上共放着7260支铅笔.下面我们再来看一例题：等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54?分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：设题中的等差数列为{an}，前n项为的Sn，由题意可知：a1＝－10，d＝(－6)－(

7、－10)＝4，Sn＝54由等差数列前n项求和公式可得：－10n＋×4＝54解之得：n1＝9，n2＝－3(舍去)答案：等差数列－10，－6，－2，2，…前9项的和是54.［例1］在等差数列{an}中，（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16（2）已知a6＝20，求S11.分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a1，a16，d，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a1＋a16的和，于是问题得以解决.（2）要求S11只需知道a1＋a11即可，而a1与a11的等差中项恰好是a6，从而问

8、题获解.解：（1）∵a2＋a15＝a5＋a12＝a1＋a16＝18∴S16＝＝8×18＝144.（2）∵a1＋a11＝2a6∴S11＝＝11a6＝11×20＝220.［例2］有一项数为2n＋1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.分析一：利用Sn＝na1＋d解题.解法一：设该数列的首项为a1，公差为d，奇数项为a1，a1＋2d，…其和为S1，共n＋1项；偶数项为a1＋d，a1＋