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时间:2018-12-17
《高中数学实际问题的函数建模 练习与解析 北师大版 必修1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、实际问题的函数建模练习与解析 一、选择题 1.某种商品1995年提价25%,1998年要恢复成原价,则应降价( ) A.30% B.25% C.20% D.15%解析:设1995年提价前的价格为a,1998年要恢复成原价应降价x. 于是有a(1+25%)(1-x)=a,解得,即应降价20%,故选C. 答案:C 2.某种商品进货单价40元,若按每个50元的价格出售,能卖出50个,若销售单价每上涨1元,则销售量就减少1个.为了获得最大利润,此商品的最佳售价应定为每个________元.(
2、) A.50 B.60 C.70 D.80 解析:设此商品最佳售价为每个(50+x)元,则此时可销出(50-x)个, 于是获利为(50+x)(50-x)-40(50-x)=-x2+40x+500=-(x-20)2+900.因此,当x=20时,获利最大. 故商品最佳售价为每个50+20=70(元).故选C. 答案:C 3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,xN),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收
3、入不小于总成本)的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 解析:由25x≥3000+20x-0.1x2,得x2+50x-30000≥0.代入验证知150适合;故选C. 答案:C 4.如图(1)所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3min漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则H与下落时间t(min)的函数关系表示的图象只可能是( ) 解析:H的变化由慢到快,故选B. 答案:B 二、填空题
4、 5.某商人购货,进价已按原价a扣去25%,他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利,则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是_________. 解析:设新价为b,则售价为b(1-20%),因为原价为a,所以进价为a(1-25%).根据题意,得b(1—20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%. 化简,得. ∴y=b·20%·x=·20%·x, 即(xN*). 答案:(xN*) 6.某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元,并且每生产一单位产
5、品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数K(Q)=40Q-,则总利润L(Q)的最大值是_________. 答案:2500万元 提示:总利润L=总收入K-总支出(生产成本+固定成本). 所以. 故当Q=300时,总利润最大值为2500万元. 三、解答题 7.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,
6、同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)求本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年有所增加,求投入成本增加的比例x的取值范围. 解:(1)出厂价为:1.2(1+0.75x),投入成本:1+x,年销售量:1000(1+0.6x). ∴y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]1000·(1+0.6x) =(0.2-0.1x)1000·(1+0.6x) =-60x2+20x+200(O<x<1). (2)由于上年度利润
7、为200万元,所以-60x2+20x+200>200. ∴-60x2+20x>0.∴0<x<. ∴x的取值范围为(0,). 8.我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中,发掘出古莲子,至今大部分还能发芽开花,这些古莲子是多少年以前的遗物呢?要测定古物的年代,可用放射性碳法:在动植物的体内都含有微量的放射性C14,动植物死亡后,停止了新陈代谢,C14不再产生,且原有的C14会自动衰变,经过5570年(叫做C14的半衰期),它的残余量只有原始含量的一半,经过科学测定知道,若C14的原始含量为a,则经过t年后的残余量a′与a之间满
8、足a′=a·e-kx.现测得出土的古莲子中C14残余量占原量的87.9%,试推算古莲子的生活年代. 解:a′=a·e-kx,即,两边取对数,得. ① 又知C14的半衰期是5570年,即t=5570时,, 所以,即,代人①式,并整理得 ,这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式.现测得古莲子的是
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