棱柱、棱锥例题解析(理科)人教版

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1、棱柱、棱锥例题解析一.本周教学内容：棱柱、棱锥二.本周教学重、难点：1.了解多面体，凸多面体，正多面体的概念。2.了解棱柱，棱锥的概念，掌握它们的性质。【典型例题】[例1]棱锥P—ABCD的底面是正方形，侧面PAB、PAD都垂直于底面，另两侧面与底面成角，M、N分别是BC、CD的中点，最长的侧棱为，求：（1）棱锥的高；（2）底面中心O到平面PMN的距离。解：如图（1）设高为，由平面PAB，平面PAD都垂直于底面，得PA⊥底面AC又∴PA=AB=，由及PC=15，得（2）∵BD⊥AC，BD⊥PA∴B

2、D⊥平面PAQ又MN//BD∴MN⊥平面PAQ∴平面PAQ⊥平面PMN作OH⊥PQ于H，则OH之长即为所求，作AG⊥PQ于G在中，∴再由，得[例2]如图所示，正四棱锥P—ABCD的底面边长和各侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且。（1）求证：直线MN//平面PBC；（2）求直线MN与底面ABCD所成角的正弦值。解：（1）证明：连结AN并延长交BC于E，再连结PE∵BE//AD∴又∴∴PE//MN又平面PBC，平面PBC∴直线MN//平面PBC（2）设O为底面正方形ABCD的中心，连结P

3、O、OE，则PO⊥平面ABCD又直线MN//PE，则为直线MN与平面ABCD所成的角由及AD=13，得在中，，PB=13，BE=由余弦定理，得在中，，PE=，则[例3]如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且。（1）证明；（2）假设CD=2，，记面C1BD为，而CBD为，求二面角的平面角的余弦值。证：（1）连结A1C1、AC，AC和BD交于O，连结C1O由四边形ABCD是菱形得AC⊥BD，BC=CD又，则∴由于DO=OB∴C1O⊥BD但AC⊥BD，，从而BD⊥平面A

4、C1又平面AC1∴C1C⊥BD（2）由（1）知：AC⊥BD，C1O⊥BD∴是二面角的平面角在中，BC=2，C1C=，∴∴∴，即C1O=C1C作，垂足为H，点H是OC的中点，且OH∴[例4]已知长方体ABCD—A1B1C1D1的一个顶点B1到它的对角线BD1的距离为。（1）若长方体的高为，对角线长为，试求关于的函数关系式；（2）求的最小值；（3）在最小的情况下，问长方体的长、宽、高各为何值时，长方体的体积最大？最大值是多少？解：（1）设长方体的长、宽分别为，则∴，即，故（2）∴，当且仅当，即时，有最

5、小值（3）在最小的情况下，有∴长方体体积，当且仅当时取等号。故当长、宽、高分别为时，体积有最大值[例5]如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=。（1）求四棱锥S—ABCD的体积；（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。解：（1）直角梯形ABCD的面积是∴四棱锥S—ABCD的体积是（2）延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱∵AD//BC，BC=2AD∴EA=AB=SA∴SE⊥SB∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC、E

6、B是交线，又BC⊥EB∴BC⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影∴CS⊥SE∴是所求二面角的平面角∵∴，即所求二面角的正切值为[例6]已知中，，AB⊥平面BCD，，E、F分别是AC、AD上的动点，且（1）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC？（2）当为何值时，平面BEF⊥平面ACD？解：（1）证明：∵AB⊥平面BCD∴AB⊥CD∵CD⊥BC且∴CD⊥平面ABC又∵∴不论为何值，恒有EF//CD∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF∴不论为何值恒有平面BEF⊥平面ABC（2）由（1）知，B

7、E⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD∴BE⊥平面ACD∴BE⊥AC∵BC=CD=1，，∴BD=∴，由，得∴，故当时，平面BEF⊥平面ACD[例7]如图，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC。（1）求证：OD//平面PAB；（2）求直线OD与平面PBC所成角的大小。解：（1）∵O、D分别为AC、PC的中点∴OD//PA又平面PAB∴OD//平面PAB（2）∵AB⊥BC，OA=OC∴OA=OB=OC又∵OP⊥平面ABC∴PA=PB=PC取B

8、C中点E，连结PE，则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面PBC∴是OD与平面PBC所成的角又OD//PA∴PA与平面PBC所成角的大小等于在中，∴PA与平面PBC所成的角为一.选择题：1.棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q是上两动点，且PQ=1，则三棱锥P—AQD的体积为（）A.8B.C.3D.2.正四棱锥底面边为，侧棱长为，则的范围为（）A.B.C.D.3.设三棱柱的体积为V，P、Q分别是侧棱上的点，且PA=QC1，则四棱锥的体积为（）A.