概率中易混淆概念的对比与思考 专题辅导

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1、概率中易混淆概念的对比与思考潘佩概率题是高考的必考内容之一。概率中的一些问题，看似相同，实则不同，容易混淆。因此在解题时，要善于对比思考，推敲它们之间的区别与联系，提高解题能力。一、随机事件发生的“频率”与“概率”混同例1下列两个命题中错误的是（）（1）抛掷100次硬币，出现正面向上的频率为0.4，则该试验中，硬币正面向上的次数为40次。（2）若一批产品的次品率为0.1，则从该产品中随机抽取100件，一定会有10件次品。分析：随机事件在一次试验中发生的频率=，它随着试验次数的改变而改变。在大量重复试验中，随机事件的发生呈现一定的规律性，频

2、率的值是稳定的，接近于某个常数，这个常数就是随机事件发生的概率。虽然事件发生的概率反映了事件发生的必然规律，但事件的发生又带有偶然性。在命题（2）中次品率为0.1，不等于100件产品中一定有10件次品，故（2）是错误的。练习：下列两个命题中错误的是（）（1）当试验次数n给定后，事件A出现的频率与事件A出现的次数成正比。（2）如果某事件发生的概率是，则该事件在n次试验中至少发生一次。［答案（2）］二、等可能事件中的“等可能”与“非等可能”混同例2掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率。分析：等可能事件的公式P（A）=，仅当所述的试

3、验结果是等可能性时才成立，而点数之和为2和3不是等可能的，点数之和为2只有一种情况（1，1），而点数之和为3有两种情况（1，2），（2，1），其它的情况可类推。而掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…（6，6），因此基本事件总数为6×6=36。在这些结果中，有利于事件A的只有两种结果（1，2），（2，1）。所以P（A）此类题易发生的错误为：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，……，12}，有利于事件A的结果只有3，故P（A）=。

4、高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。练习：（2005年广东省）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（）A.B.C.D.［答案：（C）］三、抽样中的“放回”与“不放回”混同例3袋中有5个白球，3个黑球，求下列事件的概率：（1）从中连取三次，一次取一个，取后不放回，恰好取到一个黑球；（2）从中连取三次，一次取一个，取后放回，恰好取到一个黑球。分析：这是“随机摸球问题”（1）记A=“从中连取三次，一次取一个，取后不

5、放回，恰好取到一个黑球”。因为一次取一个，取后不放回，故所以P（A）=（2）记B=“从中连取三次，一次取一个，取后放回，恰好取到一个黑球”。因为一次取一个，取后放回，所以同时“随机摸球问题”，（1）中取出的球不放回，每取出一个球后，袋中的球就少一个，这是个组合问题；（2）中每次取出的球放回，袋中的球始终保持不变，故每次取球是相互独立的，是独立重复试验。练习：（2005年山东省）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即

6、终止。每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需的取球次数。（I）求袋中原有白球的个数；（II）求取球2次终止的概率；（III）求甲取到白球的概率。（答案：3，；）四、抽奖中的“先”与“后”混同例410根签中有两根彩签，设首先由甲抽1根，然后再由乙抽1根，试求下列事件的概率：（1）甲中彩；（2）乙中彩。分析：这是概率中的“抽奖问题”。记A=“甲中彩”；B=“乙中彩”。（1）P（A）=（2）“乙中彩”=AB。因为AB与互斥，所以同时“抽奖问题”，（1）为简单事件，（2）为复合事件，因为“乙中彩”可能在“甲中”或“甲不中”的情

7、况下发生。同时我们又发现，虽然抽奖有先后，但甲、乙两人中奖的概率是相等的，即抽签不分先后，一样公平合理。练习：同时抛掷15枚均匀的硬币一次，（1）试求至多有1枚正面向上的概率；（2）试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等？请说明理由。（答案：；相等）五、“互斥”与“对立”混同例5把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上均不对分析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，错误地选：A。

8、要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别。这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适