新增内容之概率与统计(王巨才)

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1、概率与统计综合问题选讲一、设计背景《2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲》（理科数学新课程版）明确指出：“对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例，构成数学试题的主体。”由于新课程新增内容大都是近、现代数学的重要基础，无论对于学生今后的进一步学习，还是对于激发学生对于数学学科的学习兴趣、增强学生的数学应用意识，都具有十分重要的意义。因此他们必然成为支撑数学学科知识体系的重点知识，从而成为保持较高比例，构成数学试题的主体的重要知识版块。概率与统计是一门“研究偶然现象统计规律性”的学科。随着科学

2、技术的发展，概率和统计这门“研究偶然现象统计规律性”的学科在社会生活实际以及科学实验和研究中都得到了越来越广泛的应用。基于以上原因，新课程增加了概率和统计基础知识的相关内容，而近几年来新课程高考试卷也把概率和统计的基础知识和方法——随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等概率及相应的计算和离散型随机变量分布列和数学期望等概念和计算列为考查的重点，作为必考内容。因此高考就利用概率与统计知识设计试题来考查学生的应用意识、实践能力；考查学生的分析问题和解决问题的能力；考查学生的分类讨论思想、等价转化思想以及对背景新奇问题的理解中所表现出来

3、的不同思维品质、思维能力。该专题将从概率与统计的基础知识着手，根据高考要求进行设计，即紧扣主干知识，又突出重点，同时注重温州的数学教学实际。二、高考考点回顾在2000—2004年全国新课程卷高考试题中每年都有出现1—2道概率与统计试题，所占分数在12—16分之间，具体考查知识点如下表所示：年号题号所占分值重点考查的知识点及知识交汇情况2000134离散型随机变量的概率分布20001712等可能事件、相互独立事件的概率2001144离散型随机变量的数学期望20011812相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率20021912相互独立事件同时发生或

4、互斥事件有一个发生的概率2003144抽样方法20032012离散型随机变量的概率分布及数学期望2004154随机事件的概率20041812离散型随机变量的概率分布及数学期望2004年浙江卷在第18题考查了离散型随机变量的概率分布及数学期望与其它地区基本一致。所不同的是问题设计的背景不同，对学生分析问题与解决问题能力的考查层次要求不同。2005年仍将会坚持不出偏题、怪题，利用考生熟悉的、常见的问题作背景出题，重在设计考查学生的数学逻辑思维和数学思想方法。三、考点知识结构及分析概率与统计重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算

5、求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；用样本方差去估计总体方差，用样本频率分布估计总体分布，用样本频率分布求其累积频率分布等的计算问题。应用概率与统计知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体。四、例题讲解（一）等可能性事件问题例1：在袋里装有30个小球，其中彩球有：个红色、5个蓝色、10个黄色、其余为白色。求：（1）如果已经从中取定了5个黄球和3

6、个篮球，并将他们编上不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？（2）如果从袋里取出3个相同颜色彩球（无白色）的概率是，且，计算红球有几个？（3）根据（2）得结论，计算从袋中任取3个小球，至少有一个是红球的概率？解：（1）将5个黄球排成一排共有种排法，将3个篮球放在5个黄球所形成的6个空上，有种放法，所求的排法为种。（2）取3个球的种数为。设“3个球全为红色”为事件A，“3个球全为蓝色”为事件B，“3个球全为蓝色”为事件C，则，为互斥事件，，即，得，故取红球的个数，又。（3）记“3个红球中至少有一个是红球”为事件D，则为“3个球中没有红

7、球”。或。例2：A、B两点之间有6条网线并联，他们能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3。先从中任取三条网线，设可通过的信息量为，当可通过的信息量时，则保证信息畅通。（1）求线路信息畅通的概率；（2）求线路可通过信息量的数学期望。分析：解答本题首先要明确可通过的信息量是一个随机变量，它的可能取值为4、5、6、7、8；保证信息畅通的条件是，而信息量取值为6、7、8这三件事是互斥的。其次要求学生能正确运用互斥事件的概率加法公式和离散型随机变量的期望定义解答本题。解：（1），信息畅通的概率为。（2）又，可通过信息量的数学期望为6。评述：本题是一道概率计算

8、的综合应用题，试题以信息时代的网络畅通为题设背景，富有时代气息。解答时应具备适度的逻辑思维能力