初三数学二次函数应用知识精讲 江苏科技版

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1、初三数学二次函数应用知识精讲一.本周教学内容：二次函数应用教学目标：1.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系。2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（或＜0，＝0）的关系。3.用二次函数的关系式分析和解决简单的实际问题。4.能寻找具体问题中的数量关系和变化规律，了解二次函数的有关规律，培养分析问题和解决问题的能力和应用数学的意识。重点：用函数的观点看一元二次方程，解决函数在实际生活中的应用。难点：（1）理解一元二次方程。（2）理解应用题的实际背景，能把实际问题转化为数学模型，从

2、而用数学有关知识解决问题。教学过程：知识点1：抛物线与直线的交点y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点是（0，c），与x轴的交点是：令y＝0，则ax2＋bx＋c＝0，若△≥0则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有交点，若△＜0则无交点，y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m的交点坐标可由下列方程组来确定当方程组有两个不同的解两函数图象有两个交点当方程组有两个相同的解函数图象只有一个交点当方程组无解时两函数图象没有交点因此直线与抛物线的交点情况可由方程组来研究。知识点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系。（1）在二次函数

3、y＝ax2＋bx＋c，令y＝0就得到ax2＋bx＋c＝0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标。（2）在二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系中，判别式△＝b2－4ac起着极为重要的作用。当△＞0抛物线与x轴有两个交点一元二次方程有两个不同的实根。当△＝0抛物线与x轴有一个交点一元二次方程有两个相同的实根。当△＜0抛物线与x轴没有交点一元二次方程没有实根。知识点3：求实际问题中抛物式的解析式。函数的应用题主要目的是考查学生用数学知识分析和解决实际问题的能力。

4、应用题涉及的数学知识并不深奥，也不复杂，但涉及的背景材料十分广泛，包括社会、人才、科技，生产、生活方方面面，且文字较长，有时很难抓住要领，所以要运用函数知识去观察分析概括所给的实际问题。将其转化为数学模型，而导出函数关系。知识点4：求二次函数最值的方法对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）当自变量为全体实数时，求最大（小）值的方法。（1）配方法：直接把给的二次函数y＝ax2＋bx＋c进行配方，得到然后确定最大或最小值。（2）公式法：直接由上述关系式配方得到结论：当时，，所以（）是最值点，当a＞0是最低点，当a＜0时是最高点。对于二次函数y＝a

5、x2＋bx＋c（a≠0）的自变量不为全体实数时上述方法不成立，须具体问题具体分析，要考虑端点的函数值。知识点5：利用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。二次函数是反映世界中变量问题的关系和变化规律一种常见的数学模型，利用抛物线解决实际问题首先必须建立数学模型，即将实际问题转化为二次函数问题，并求出函数的解析式。通过解析式和图象去研究问题，其次，根据图象及性质求出最大（或最小）值。例1.已知抛物线y＝x2－2x－2的顶点为A，与y轴交于点B，求过A，B两点的直线解析式。分析：由顶点坐标公式求出A，令x＝0求出B的纵坐标，再用待定系数法求出直线的解

6、析式。解：y＝x2－2x－2＝（x－1）2－3∴A的坐标为（1，－3）∵当x＝0时y＝－2∴点B的坐标为（0，2）设过A，B两点的解析式为y＝kx＋b(k≠0)∵A（1，－3），B（0，2）∴直线的解析式是y＝－x－2例2.下列抛物线中，与x轴有两个交点的是（C）A.y＝5x2－7x＋5B.y＝16x2－24x＋9C.y＝2x2＋3x－4D.y＝3x2－2x＋2解：判断抛物线与x轴的交点情况主要是判断b2－4ac与0的大小比较。A中△＝（－7）2－4×5×5＝－51＜0抛物线与x轴无交点。B中△＝（－24）2－4×16×9＝576－576＝0抛物

7、线与x轴只有一个交点。C中△＝32－4×2×（－4）＝9＋32＝41＞０抛物线与x轴有两个交点。D中△＝（－2）2－4×3×2＝0，抛物线与x轴只有一个交点。故选C例3.已知一条抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，且经过点P（0，－16），顶点在直线y＝2上，求抛物线的解析式。解：设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋2∵│x2－x1│＝2∴x1＝h＋1，x2＝h－1是方程a(x－h)2＋2＝0的两个解把x1＝h＋1代入方程，得a(h＋1－h)2＋2＝0∴a＝－2∴抛物线的解析式为y＝－2(x－h)2＋2又∵抛物线过点P(0，－16)∴－16＝

8、－2(x－h)2＋2∴h＝±3∴抛物线的解析式为y＝－2(x－3)2＋2或y＝－2(x＋3)2＋2即y＝－2x2－12x－16y＝－2x