例说利用均值不等式求最值 专题辅导 不分版本

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1、例说利用均值不等式求最值尹建堂均值不等式（定理）具有将“和式”与“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，这里仅就其在求函数最值中的应用述其管见。为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三个条件（三要素）：正（各项或各因式均为正值）、定（和或积为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正、二定、三相等”，这三条缺一不可，当然还要牢记结论：积定→和最小，和定→积最大。但是在具体问题中，往往所给条件并非“标准”的正、定、等（或隐含于所给条件之中），所以还必须作适当地变形，通过凑、拆（拼）项、添项等技巧，对“原始”条件

2、进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等，以保证使用该不等式。一、凑正值例1设x<－1，求函数的最值。分析：欲用均值不等式来解。因，则不满足“正”的条件，故需利用已知条件调整其符号。解：因为，即，所以，则。当且仅当，即时，y有最大值，且，y无最小值。评注：（1）本题通过“凑”，利用条件将有关项化为正值，从而满足公式中正的条件。否则就会出现，则的错误。（2）对于分式函数，常常等价转化为的形式再求最值。常用的转化方法有分离系数法、换元法等。二、变定值例2求函数的最小值。分析：因并非“定值”，故不能直接运用均值不等式，为此需对原式按拆（添）项重组。解：

3、原函数化为因为所以。当且仅当即x=1，x=－1时，。评注：通过拆（添）项，“变”也定值是本题求解的关键。对此要弄清以“谁”为“基准”（如本题中以为基准）来拆、添、配、凑，做到有的放矢。例3求函数的最大值。分析：因定值，故需拆凑使其满足定值条件，原函数中有一个因式，为使其余因式与（）之和为定值，需以（）为准将拆成，这时就有定值。解：。当且仅当，即时，。评注：一般说，凑“和”为定值较难，它需要一定的技巧。当然这种技巧来源于对均值定理的真正理解和基本的恒等变形能力。三、找等号例4求函数的最小值。错解：直接利用均值不等式，得所以。这种解法之所以错误，原因

4、是，即取不到“等”的条件。正解：原函数拆项，得因为，当且仅当即时等号成立，又因为所以，当且仅当时取等号。上面两式同时取等号，故。评注：错解中取不到等号成立的条件是当时，，则，这是不可能的。本例也告诉我们，在用均值不等式求三角函数最值时，既要考虑等号，又要考虑三角函数的有界性，使等号成立的条件与三角函数的有界性保持一致。四、综合变换例5求函数的最小值，下列解法是否正确？为什么？解法1：，所以。解法2：当，即时，。评注：所给两种解法均有错误。解法1错在取不到“等”，即不存在x使，解法2错在不是定值。正解：对原函数合理拆（添）项，得当且仅当，即时，。通

5、过以上几例我们体会到：均值定理真重要，用于最值有诀窍，正确理解“正、定、等”，合理进行拆、拼、凑。练习：1.已知x>0，y>0，且，求的最小值。2.若a>0，b>0，且，求ab的最小值。3.求的最大值。答案与提示：1.由（定值），又知x>1，y>9，故当且仅当x－1=y－9=3，即x=4，y=12时，。2.由，得3.，此时，，故当时，。