高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）10.3 基本不等式及其应用第2课时 湘教版必修4

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1、第2课时　基本不等式的应用学习目标重点难点1．能够利用基本不等式求函数的最值和代数式的最值；2．能够利用基本不等式解决实际问题中的最值问题；3．能够利用基本不等式解决恒成立问题.重点：利用基本不等式求函数或代数式的最值；难点：不等式恒成立问题；疑点：基本不等式成立条件的构建.1．利用基本不等式求函数或代数式的最值预习交流1利用基本不等式求最值的关键是什么？2．利用基本不等式解决实际应用问题预习交流2应用基本不等式求解实际应用问题的一般步骤是什么？3．利用基本不等式解决恒成立问题预习交流3“不等式恒成立求参数取值范围”问题的

2、常见解法是什么？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习交流1：提示：基本不等式通常用来求最值问题：一般用a＋b≥2(a＞0，b＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤2求“定和求积，积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一正，二定，三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．预习交流2：提示：(1)理解题意，设出变量；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3

3、)在定义域内求出函数的最大值或最小值；(4)还原为实际问题，写出正确答案．预习交流3：提示：常见解法有以下两种：(1)直接将参数从不等式中分离出来变成k≥f(x)(或k≤f(x))，从而转化成f(x)求最值．(2)如果参数不能分离，而x可以分离，如g(x)≥f(k)(或g(x)≤f(k))，则f(k)恒大于g(x)的最大值或恒小于g(x)的最小值，然后解关于参数k的不等式．其中关键是f(x)或g(x)的最值的求解，这时经常采用基本不等式求最值．一、利用基本不等式求函数的最值求解下列问题：(1)求f(x)＝x＋的最小值；(2

4、)求f(x)＝x(1－4x)的最大值．思路分析：将x＋变形为x＋＝＋＋，然后利用基本不等式a＋b≥2变形求解；将x(1－4x)变形为f(x)＝[4x·(1－4x)]，然后根据ab≤2求得4x·(1－4x)的最大值，从而得到原函数的最大值．设x＞0，则函数y＝x－1＋的最小值等于__________．1．在利用均值不等式求函数或代数式的最值时，有时不一定恰好能用上均值不等式，因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理，通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出均值不等式的形式再进行求解．2．凑项的技巧通常有：添项、拆项、

5、统一变量、“1”的代替、恒等式的巧用等，通过这些凑项方法，获得定值，从而可利用基本不等式求出最值．二、利用基本不等式求代数式的最值已知正数a，b满足＋＝3.(1)求a＋b的取值范围；(2)求ab的取值范围．思路分析：一种思路是根据＋＝3，用a表示b，然后代入要求最值的式子中，消去b，再通过变形，利用基本不等式求得最值；另一种思路是先将＋＝3变形为a＋b＝3ab，再运用基本不等式，将a＋b与ab进行转化，根据需要求得a＋b或ab的取值范围．1．设x＞0，y＞0且x＋2y＝1，则＋的最小值为__________．2．设x，y∈

6、R＋且＋＝1，则x＋y的最小值为__________．1．均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．2．含有多个变量的条件最值问题，一般方法是采取减少变量的个数，将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决；如果条件等式中，含有两个变量的和与积的形式，还可以直接利用均值不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．三、基本不等式在实际问题中的应用某公司一年购买某种货

7、物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．思路分析：总运费与购买的次数有关，每次购买x吨，所以购买次数为，从而可建立总费用与x的函数关系，利用基本不等式求出函数的最小值，同时可求出取得最小值时x的值．建造一个容积为18m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价为200元和150元，那么池的最低造价为__________元．1．解实际应用题要注意以下几点：①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；②

8、根据实际问题抽象出函数解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；③在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量取值范围)内求．2．有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面的求条件最值的方法求最值．四、不等式恒