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《高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算课堂导学案新人教b版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算课堂导学三点剖析一、向量共线的概念及共线的条件1.向量共线的概念如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或互相平行.2.向量共线的条件——平行向量定理平行向量定理:如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b(b≠0),则一定存在一个实数λ,使a=λb.注意:(1)本定理由向量平行和向量数乘的定义可以直接推知.(2)本定理深刻地揭示了平面内全体与非零向量b共线的向量的基本结构.【例1】判断向量a=-2e与b=2e是否共线.思路分析：要分e=0与e≠0两种情况分析.解:(1)当e=0时,则a=-2e=0.由于“零向量与任一向
2、量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以,此时a与b共线.(2)当e≠0时,则a=-2e≠0,b=2e≠0.∴b=-a(这时满足定理中的a≠0及有且只有一个实数λ(λ=-1),使得b=λa成立).∴a与b共线.综合(1)(2)可知,a与b共线.各个击破类题演练1已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线?思路分析:根据向量共线条件列式求解.解:设存在λ,μ使得d与c共线,并设m(2e1-9e2)=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2),则m=λ+μ且m=,解得λ
3、=-2μ,即存在实数λ,μ,使得d=λa+μb与c共线.变式提升1设两个非零向量e1,e2不是平行向量,试确定实数k的值,使ke1+e2和e1+ke2是两个平行向量.思路分析:运用平行向量定理列式求解.解:因为(ke1+e2)∥(e1+ke2),所以存在唯一实数p使ke1+e2=p(e1+ke2)成立,所以(k-p)e1=(pk-1)e2,因为e1与e2不是平行向量,且为非零向量,所以k-p=0且pk-1=0,所以k=±1.温馨提示(1)向量共线的充要条件:a与b共线存在唯一λ使b=λa(a≠0).(2)利用两个向量共线的充要条件证明多点共线,通常是采用列方程(组)的
4、方法.二、轴上向量的坐标及其运算关于这部分内容要注意:1.轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.2.设e是轴l上的一个基向量.的坐标又常用表示,这时=ABe.3.在数轴x上,已知点A的坐标为x1,点B的坐标为x2,则AB=x2-x1.即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.这样,又可以得到数轴上两点的距离公式:
5、AB
6、=
7、x2-x1
8、.【例2】已知轴上三点A,B,C,且AC=2,BC=-2,则AB等于()A.0B.4C.-4D.非上述答案解析：AB=AC-BC=2-(-2)=4.答案:B类题演练2已知数轴上两点M
9、,N,且
10、MN
11、=4,若xm=-3,则xn等于()A.1B.2C.-7D.1或-7解析:据数轴上两点间的距离公式,得
12、MN
13、=
14、xn-xm
15、=4,又xm=-3,∴
16、xn+3
17、=4.∴xn=1或-7.答案:D变式提升2A,B,C,D是轴上任意四点,求证:AB+BC+CD+DA=0.证明:设轴l上的点A,B,C,D的坐标分别为x1,x2,x3,x4,则AB+BC+CD+DA=(x2-x1)+(x3-x2)+(x4-x3)+(x1-x4)=0.故原题得证.三、三点共线问题【例3】如图所示,在ABCD中,=a,=b,M是AB中点,点N是BD上一点,
18、
19、=
20、
21、.求证:M、N、C
22、三点共线.思路分析:将点共线问题转化成向量共线问题,即证明=3.证明:∵=a,=b,∴=-=a-b.∴=+=b+=b+(a-b)=a+b=(2a+b).又∵=+=b+a=(2a+b),∴=3.又与有共同起点,∴M、N、C三点共线.温馨提示几何中证明三点共线,通常以三点为起点和终点确定两个向量,然后看能否找到唯一的实数λ,使得一个向量等于另一个向量的λ倍,把三点共线问题转化成向量共线的问题.类题演练3设e1、e2是不共线的向量.已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2.若A、B、D三点共线,求k的值.解:∵=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-
23、4e2,又由题设A、B、D三点共线,得存在实数λ,使=λ,∴2e1+ke2e2=λ(e1-4e2).∴λ=2,k=-4λ=-8.变式提升3已知两个非零向量e1和e2不共线,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2,求证:A、B、D三点共线.证明:∵=++=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6,∴向量与共线.又与有共同起点A,∴A、B、D三点共线.温馨提示证明三点共线问题可转化为证明两向量平行,这是数形结合思想的具体体现,但要弄清两向量平行的含义,即两向量所在的直线平行或重合时
