高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂名师导航学案苏教版必修1

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1、3.1.1分数指数幂名师导航知识梳理指数与指数幂的运算1.根式的概念一般地，如果__________，那么x叫做a的n次方根(nthroot)，其中n>1，且n∈N*.当n是奇数时，正数的n次方根是一个__________，负数的n次方根是一个__________.此时，a的n次方根用符号__________表示.式子叫做根式(radical)，这里n叫做根指数(radicalexponent)，a叫做被开方数(radicand).当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为___________.此时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的

2、n次方根用符号___________表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并成±(a>0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0.结论：当n是奇数时，=______________;当n是偶数时，=

3、a

4、=2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：(a>0,m、n∈N*,n>1),(a>0,m、n∈N*,n>1).0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.3.有理数指数幂的运算性质(1)a

5、r·as=ar+s(a>0,r、s∈Q);(2)(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).4.无理数指数幂结合教材实例利用逼近的思想理解无理数指数幂的意义.指出：一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.疑难突破分数指数幂有哪些常用公式?根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：(1)当n为任意正整数时，()n=a.例如，()3=27，()5=-32.(2)当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=

6、a

7、=例如，=-2，=2；=

8、3，=

9、-3

10、=3.(3)根式的基本性质：(a≥0).注意，(3)中的a≥0十分重要，无此条件则公式不成立.例如:≠.问题探究问题1在初中数学中，我们曾经学习过整数指数幂的概念和整数指数幂的运算，你能说出整数指数幂的含义及幂的运算性质吗？探究思路：在初中我们学习过正整数指数幂，正整数指数幂的意义是：一个数a的n次幂表示n个a相乘所得的积.正整数指数幂有五条运算性质：(1)am×an=am+n；(2)am÷an=am-n(a≠0，m＞n)；(3)(am)n=amn；(4)(a×b)n=an×bn；(5)()n=(b≠0).问题2什么叫做实数a的n

11、次实数方根？探究思路：一般地，如果一个实数x满足xn=a(n＞1，n∈N*)，那么x称为a的n次实数方根.问题3分数指数幂是怎么定义的？运算性质有哪些？探究思路：一般地，我们规定：(a≥0，m、n∈N*，n＞1).这就是正数a的正分数指数幂的意义.仿照负整数指数幂的意义，我们规定：(a＞0，m、n∈N*，n＞1)，且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.我们将指数幂的概念扩大到有理数指数幂后，有理数幂的运算法则归纳为：(1)arar=ar+s；(2)(ar)r=ars；(3)(ab)r=arbr，a＞0，b＞0，r、s为有理数.问题4

12、n次根式有哪些重要的性质?探究思路：我们知道，如果xn=a，则称x是a的n次实数方根.若a=0，则x=0，即=0，若a≠0时，当n为正奇数时，x=，其符号与a的符号一致；当n为正偶数时，则a一定大于零，x=±，即正数的偶次实数方根有两个，它们互为相反数.根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a的符号.如：≠-2和≠，应该先将被开方式底数-2化成2，然后再进行化简.一般地，根式有如下性质：(1)=(2)()n=a(n∈N*);(3)(n、m、p∈N*);(4)(m、n∈N*,a>0).对于分数指数幂不能理解为有个a相乘，我们规定(a＞0，m、

13、n∈N*，n＞1).典题精讲例1计算:(1);(2);(3);(4)(2a+1)0;(5)［］-1.思路解析在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时〔如（1）（2）（3）〕，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便.在幂的运算中，对于形如m0的式子，要注意对底数m是否为零进行讨论，因为只有在m≠0时，m0才有意义；而对于形如()-n的式子，我们一般是先变形为()n，然后再进行运算.解答:(1)=.(2)==0.2-2=()-2=52=25.(3)=.(4)(2a+1)0=(5)［］-1=()

14、-1=(-)-1=-.例2化简的结果是()A.B.-3C.3D.9思路解析先将式子中的根式逐个进行化简，后进行运算便成.原式==-+6=9.答案:D例