高中数学第三章基本初等函数ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算学习导航学案新人教b版必修1

《高中数学第三章基本初等函数ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算学习导航学案新人教b版必修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.2.1对数及其运算自主整理1.对数的概念(1)如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a称为对数的底，N称为真数;(2）以10为底的对数称为常用对数，log10N记作lgN；(3）以无理数e(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数，logeN记作lnN.2.对数的性质(1）真数N为正数（负数和零无对数）.(2）loga1=0.(3）logaa=1.(4）对数恒等式：a=N.(5)运算性质：如果a>0,a≠1,M>0,N>0,则①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=log

2、aM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R).3.对数的换底公式一般地,我们有logaN=(a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0),这个公式称为对数的换底公式.通过换底公式可推导:(1）logab·logba=1；(2）log=logab.高手笔记1.对数的运算法则助记口诀：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前.2.对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子.3.证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义.4.使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数

3、式都存在时，等式才成立.例如：lg（-2）（-3）存在，但lg（-2），lg（-3）不存在，lg（-10）2存在，但lg（-10）不存在等.因此不能得出lg（-2）（-3）=lg（-2）+lg（-3），lg（-10）2=2lg（-10）.5.换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M＞0，N＞0，M=N，则logaM=logaN.名师解惑1.对数式与指数式有何关系？在对数符号logaN中，为什么规定a＞0，a≠1，N＞0呢？我们的口号是：渴望找到真理就是功绩，即使在这条道路上会迷路。——利希顿堡剖析：对数的概念是这么说的：一般地，如果a（a＞0且a≠1）的b

4、次幂等于N，即ab=N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.从定义不难发现无论是指数式ab=N，还是对数式logaN=b都反映的是a、b、N三数之间的关系.在对数符号logaN中，若a＜0，则N为某些值时，logaN不存在，如log（-2）8不存在.若a＝0，则N不为0时，logaN不存在；N为0时，logaN可以为任何正数，不唯一.若a＝1，则N不为1时，logaN不存在；N为1时，logaN可以为任何实数，不唯一.因此规定a＞0且a≠1.因为logaN＝bab＝N，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N＞0

5、.2.式子logaMn=nlogaM表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？剖析：一般不能，比如2=log416=log16,而2log216=8≠log16=2.但有类似的性质，这个性质是log=logaM.证明如下：令logaM=x,则M=ax.所以logaM=x.而log=log=xlog=x·，所以log=logaM.logaMn=nlogaM与log=logaM的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过

6、先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的.讲练互动【例题1】（1）将下列指数式写成对数式：①210=1024；②10-3=；③0.33=0.027；④e0=1.（2）将下列对数式写成指数式：①log0.46.25=-2；②lg2=0.3010；③log310=2.0959；④ln23.14=x.分析:应用指数式与对数式的等价关系求解.解：（1）①log21024＝10；②lg＝-3；③log0.30.027＝3；④ln1＝0.（2）①0.4-2＝6.25；②100.3010＝2；③32.0959＝10；④ex＝23.14.绿色通道指数式与对数式之间的换算

7、，就是利用logaN＝bab＝N.变式训练1.已知loga2=m，loga3=n，则a2m-n=______.解析：∵loga2=m，loga3=n，∴am=2，an=3.∴a2m-n====.答案：【例题2】计算：log2+log212log242.分析:这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=（log27-log248）+log23+2log22（log27+lo