高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式课堂探究学案新人教b版必修4

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1、3.2.1倍角公式课堂探究探究一化简、求值问题解决此类题目时，应善于观察三角函数式的特点，常变形后正用或逆用公式来解决．【例1】求下列各式的值：(1)－sin215°；(2)coscos；(3)已知tanα＝，tanβ＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值；(4)sin50°(1＋tan10°)．解：(1)－sin215°＝(1－2sin215°)＝cos30°＝．(2)原式＝＝＝＝＝．(3)由tanβ＝，得tan2β＝>0，所以2β∈．又tanα＝，所以tan(α＋2β)＝＝1．因为α∈，2β∈，所以α＋2β∈(0，π)，所以α＋2β＝．(4)原式＝sin50°＝

2、sin50°·＝sin50°·＝sin50°·＝sin50°·＝＝＝1．探究二给值求值问题由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值或求相关角时，关键在于“变角”，把“目标角”变换成“已知角”．【例2】(1)已知cos＝，≤α<，求cos的值；(2)已知α∈，且sin2α＝sin，求α．解：(1)因为≤α<，所以≤α＋<．因为cos>0，所以<α＋<．所以sin＝－＝－＝－．所以cos2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，sin2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×＝．所以cos＝cos2α－sin2α＝×＝－．(2)因为sin2α＝－cos＝－，

3、sin＝－sin＝－cos＝－cos，所以原方程可化为1－2cos2＝－cos，解得cos＝1或cos＝－．因为α∈，所以α＋∈．所以α＋＝0或α＋＝．所以α＝－或α＝．探究三与三角函数有关的综合问题解决这类问题经常是先利用二倍角公式、辅助角公式及三角函数的性质等将函数表达式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用三角函数的性质和图象解决．【例3】求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sinxcosx的最小值，并求其单调减区间．解：f(x)＝5·＋·－2sin2x＝3＋2cos2x－2sin2x＝3＋＝3＋＝3＋4sin＝3－

4、4sin．因为≤x≤，所以≤2x－≤．所以sin∈．所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取最小值为3－2．因为y＝sin在上单调递增，所以f(x)在上单调递减．探究四易错辨析易错点：忽视角所在象限【例4】化简：2＋．错解：原式＝＋＝2sin4＋2cos4＋2cos4＝2sin4＋4cos4．错因分析：没有判断4弧度的角终边所在的象限或根号下正负号判断错误．正解：因为4∈，所以sin4<0，cos4<0．所以原式＝＋＝2

5、sin4＋cos4

6、＋2

7、cos4

8、＝－2(sin4＋cos4)－2cos4＝－2(sin4＋2cos4)．