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《高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式课堂导学案新人教b版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.1倍角公式课堂导学三点剖析一、运用倍角公式求值对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变换成“已知角”.若角所在的象限没有确定,则应分情况讨论.【例1】已知cosα=-,α∈(π,),求sin2α,cos2α和tan2α的值.思路分析:本题旨在考查二倍角公式的应用,做题时应注意已知角与所求角间的倍数关系和角的取值范围.解：∵cosα=-,α∈(π,),∴sinα=.∴sin2α=2sinα·cosα=2×()×(-)=,cos2α=1-2sin2α=1-2×()2=,tanα=.温馨提示在解题过程中,要注意根据问题
2、的具体特点,适当地加以变形,同时要注意挖掘题中的隐含条件,特别是利用这些条件来确定某些三角函数值的符号,化简问题.各个击破类题演练1已知sinα=,求sin2α,cos2α,tan2α的值.思路分析:∵sinα=>0且α∈R,∴α为第一、二象限角,解题时应分象限讨论.解:∵α∈R且sinα=>0,∴α为第一象限或第二象限角.①当α为第一象限角时,sin2α=,cos2α=,tan2α=.②当α为第二象限角时,sin2α=,cos2α=,tan2α=.变式提升1求的值.思路分析:仔细观察原式的结构,将原式通分后将有惊喜的发现.解:原式==4.二、给值求角问题给值求角问题,其方法步骤是:(
3、1)先求该角的某一个三角函数值;(2)确定该角的范围;(3)依据角的范围写出所求的角.在求该角的某一个三角函数值时,往往有一定规律:一般已知正切函数值,选正切函数;已知正,余弦函数值,选正弦函数或余弦函数.若角的范围是(0,),选正弦,余弦函数均可以;若角的范围是(-,),选正弦函数比选余弦函数好;若角的范围是(0,π),选余弦函数比正弦函数好.【例2】已知α,β是锐角,且sinα=,sinβ=,求α+2β的值.思路分析:因为β∈(0,),所以2β∈(0,π).所以先求cos2β的值,然后再选用适当的三角函数求α+2β的值.解：∵sinβ=,∴cos2β=1-2sin2β=.由β∈(0
4、,)且cos2β=>0,可推得2β∈(0,),∴α+2β∈(0,π).∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β.∵α∈(0,)且sinα=,得cosα=,又2β∈(0,)且cos2β=,∴sin2β=.∴cos(α+2β)=.∴α+2β=.类题演练2已知tan(α-β)=,tanβ=,α,β∈(0,π),求2α-β的值.解：∵tanα=tan［(α-β)+β］=,∴tan2α=.∵tanα=>0且α∈(0,π),可推得α∈(0,).又tan2α=>0,可推得2α∈(0,),同理,得β∈(,π).∴2α-β∈(-π,0).又tan(2α-β)==1,∴2α-β=π.变
5、式提升2已知tanα=4,cos(α+β)=,α,β均为锐角，求β的值.解：∵α,β均为锐角，∴0<α+β<π.又cos(α+β)=,∴<α+β<π,则sin(α+β)=.∵tanα=4,∴sinα=,cosα=.∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.∴β=.三、三角函数式的化简与证明三角函数式的化简,一般从减少角的种类,减少函数的种类,改变函数式的运算结构入手,对于根式形式的化简常以化去根号为目标,为此常使被开方的式子配成完全平方,化简时要注意角的范围.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证
6、.对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证等方法.常用定义法,化弦法,化切法,拆项拆角法,“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.【例3】化简（1）cos72°cos36°;(2)cos20°cos40°cos60°cos80°.思路分析：利用二倍角正弦、余弦公式及诱导公式，将角度不同的三角函数转化为同一个角或互补、互余角的三角函数，再通过约分求出式子的值.解：（1）cos72°cos36°=.(2)原式=cos20°cos40°cos80°=.温馨提示对于分式化简问题，通常要将分子、分母均化为
7、积的形式，如果分子、分母有公因式，通过约分把分式化简，这是解这类问题的常规思路.类题演练3化简.解法一：原式=.解法二：原式=.变式提升3求证：［sinθ(1+sinθ)+cosθ(1+cosθ)］［sinθ(1-sinθ)+cosθ(1-cosθ)］=sin2θ.证明：左=（sinθ+sin2θ+cosθ+cos2θ)·（sinθ-sin2θ+cosθ-cos2θ）=(sinθ+cosθ+1)(sinθ+cosθ-1)=(sinθ+cosθ)
