高中数学第一章导数及其应用1.5第2课时定积分的概念学案新人教a版选修2

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1、1.5第二课时定积分的定义一、课前准备1.课时目标1.借助几何图形直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；2.会用定积分的几何意义求积分值；3.能熟练应用定积分的性质解题。2.基础预探1.如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式________，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的________，记作________，即________，区间[a，b]叫做________，函数f(x)叫做________.2．当f(x)≥0时，

2、定积分f(x)dx表示由________所围成的曲边梯形的________.当f(x)≤0时，f(x)dx是________(填“正数”或“负数”)．3．(1)kf(x)dx＝________(k为常数)；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝________；(3)f(x)dx＝________(a

3、想．若抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系以及思想方法上共同的本质特征加以概括，抽象出其中的数学思想并且形成概念，这样就得到了定积分的定义．2.定积分应注意问题(1)定积分f(x)dx是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数f(x)的积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即f(x)dx＝f(u)du＝f(t)dt＝…．(2)当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号．在定积分f(x)dx的定义中，总是假设ab时，不难验证，f(x)dx＝0，f(x)dx＝－f(x)dx.(3)定积分的

4、值可以是正数、零或负数，定积分的值也不一定等于曲边梯形的面积．3.函数的奇偶性与定积分的关系根据定积分的几何意义知，若f(x)是区间[－a，a](a>0)上的连续函数，则(1)当f(x)是偶函数时，f(x)dx＝2f(x)dx;(2)当f(x)是奇函数时，f(x)dx＝0.三、典例导析题型一利用定积分定义求值例1　利用定积分定义，计算(3x＋2)dx的值．思路导析：类似于上节的问题，本题需分割、以直代曲(近似代替)、求和、取极限四个步骤解决．解析：（1）令f(x)＝3x＋2，在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)。

5、每个小区间的长度为Δx＝－＝。（2），则(3x＋2)dx≈=（3）(3x＋2)dx∴所求曲边梯形的面积为.归纳总结：利用定义求定积分的步骤是“分割、近似代替，求和、取极限”，整理式子是解决这类问题容易出错的地方，应多加注意．变式训练：利用定积分的定义，计算x2dx的值．题型二应用定积分几何意义的求积分值例2　用定积分的几何意义求下列各式的值：(1)(2)（3）思路导析：求解本题应先做出被积函数的图象，再找到相应的积分的图形，计算出面积即可。解：（1）由可知，其图像如图。等于圆心角为的弓形CDE的面积与矩形ABCD的面积之和。S弓形＝××22－×2×2sin＝－，S矩形＝AB·BC

6、＝2，∴=2+－=+.(2)∵函数y=sinx在x∈上是奇函数，∴=0.(3)函数y＝1＋sinx的图象如图所示，∴归纳总结：利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题，运用数形结合法是关键．变式训练：用定积分的几何意义求下列各式的值：(1)dx(2)（3）题型三定积分性质的应用例3计算定积分(x＋1)(x－3)dx.思路导析：将此复杂的积分函数展开，利用积分的性质分解为多个简单的积分函数的问题求解。解析：(1)∵(x＋1)(x－3)dx＝(x2－2x－3)dx＝x2dx－2xdx－3dx，利用定积分的定义求得x2dx＝，x

7、dx＝，3dx＝3，∴(x＋1)(x－3)＝－2×－3＝－.归纳总结：利用积分的性质可以将复杂的积分问题转化为简单的积分的加减乘除问题解决。变式训练：已知dx＝ln2，求证：(1＋)(2－x)dx＝ln.四、随堂练习1.设函数f(x)>0，则当a