高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质学案苏教版必修4

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1、1.3三角函数的图象和性质典题精讲例1求函数y=的值域.思路分析:此类题型可转化为分式函数值域的求法，即分离常数法，或通过反解sinx法，利用sinx的值域确定原函数的值域.解:由y=,得sinx=.∵

2、sinx

3、≤1,∴

4、

5、≤1.解得-2≤y≤.∴ymax=，此时sinx=1；ymin=-2，此时sinx=-1.∴函数的值域为［-2,］.绿色通道:本题的解法对形如“求y=或y=的函数的值域(或最大值、最小值)”问题具有一般性.变式训练(2006安徽高考卷，理8)设a>0，对于函数f(x)=(0

6、.既无最大值又无最小值思路解析:令t=sinx,t∈(0,1］，则函数f(x)=(00，所以y=1+,t∈(0,1］是一个减函数.故选B.答案:B例2求下列函数的周期:(1)y=cos2x；(2)y=-2cos(-x-1)；(3)y=

7、sin2x

8、；(4)y=cos3x+sin2x.思路分析:(1)复合函数，可以通过变量替换归结为基本三角函数去处理；(2)先用诱导公式将ω转化为正值，再用T=来求；(3)可利用绝对值的意义及图象法求；(4)可用最小公倍数法.解:(1)把2x看成一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2π，这就是说，当

9、u增加到u+2π且必须增加到u+2π时，函数cosu的值重复出现，而u+2π=2x+2π=2(x+π)，所以当自变量x增加到x+π且必须增加到x+π时，函数值重复出现，因此，y=cos2x的周期为π.(2)y=-2cos(-x-1)=-2cos(x+1),T==4π.(3)因为y=

10、sinx

11、的周期是=π，故y=

12、sin2x

13、的周期是.(4)y1=cos3x的周期T1=；y2=sin2x的周期T2==π，因为T1=,T2=且4与6的最小公倍的数是12，所以T==2π.绿色通道:周期的求法除应用定义及有关结论公式外，还可以作出图象，由图象直观判断求出周期，也是一种重要方法，另外最小公倍数法也要灵

14、活掌握.变式训练(2006湖南高考卷，文8)设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期是()A.2πB.πC.D.思路解析:根据图象，知对称中心到对称轴的最短距离为，所以=，得T=4·=π.所以最小正周期为π.答案:B例3若α、β为第三象限角，且α>β，则_______________.A.cosα>cosβB.cosα

15、选A.变式训练在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为()A.(,)∪(π,)B.(,π)C.(,)D.(,π)∪(,)思路解析:此题可以用图象法、特殊值法、或者常规计算法等多种方法进行求解.利用单位圆图象解答时，以直线y=x为界，角α的终边在该直线上方，则有sinα>cosα；落在该直线下方，则有sinα

16、增区间；(3)画出函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象.思路分析:(1)可利用对称轴来解决；(2)要注意“整体性”原则；(3)画图时用“五点法”.解:(1)∵x=是函数y=f(x)的图象的对称轴，∴sin(2×+φ)=±1.∴+φ=kπ+,k∈Z.又∵-π<φ<0，∴φ=-.(2)由(1)知φ=-，因此y=sin(2x-).由题意,得2kπ≤2x-≤2kπ+，k∈Z.∴函数y=sin(2x-)的单调增区间为［kπ+,kπ+］，k∈Z.(3)由y=sin(2x-),知x0πy-1010故函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象如图1-3-2所示.图1-3-2绿色通道:高考侧重基础知识、基本技

17、能的考查，而三角函数是高考考查的重点内容之一，三角函数的图象与性质经常在高考题中出现，熟练掌握三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键.变式训练如图1-3-3，已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的一个周期的图象，则函数的解析式为_________________________.图1-3-3思路解析:依题意,知当x=时,y=0；当x=时,y=A；当x=0时,y=.∴解之得故y=2sin