高中数学第3章概率3.3几何概型知识导引学案苏教版必修3

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1、3.3　几何概型案例探究判断下列试验中事件A发生的概率是否是古典概型？若不是，它又是什么概型呢？（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如右图所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.分析：本题探究的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关.解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型.（2）游戏中指针

2、指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”.概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型.请同学们再想想下面问题.某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各地的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.我们可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时

3、刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件.解：设A={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于［50，60］这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得P（A）=．即“等待的时间不多于10分钟”的概率为．自学导引1．对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.

4、这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometricprobabilitymodel）.2．几何概型的两个基本特征：（1）无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个.（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性.3．一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P（A）=.这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.

5、4．几何概型的试验中，事件A发生的概率P（A）只与子区域d的测度（长度、面积、体积）成正比，而与子区域d的位置和形状无关.疑难剖析古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型的基本事件则有无限多个.计算几何概型的概率要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的测度（角度、面积、体积），而这可能遇到困难，这是本节难点之一.实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何知识，把问题转化为各种几何概型的概率问题.同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要

6、严谨思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景中去判断.【例1】在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.思路分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D．当点M位于图中线段AC′上时，AM

7、M看作在线段AC上任取一点M，过C、M作射线CM，则概率为.错因分析：虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线.因此在确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性.正解：在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任何位置都是等可能的.在AB上取AC′=AC，则∠ACC′=67．5°，故满足条件的概率为=0.75．思维启示：判断基本事件应从“等可能”的角度入手，选择好观察角度.【例2】如右图，在直

8、角坐标系内，∠xOT=60°，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率.思路分析：以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的.落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件.记B={射线OA落在∠xOT内}.∵∠xOT=60°,∴P(B)==．思维启示：此题关键是搞清过O作射线OA可以在平面内任意作，而且是均匀的.因而基本事件的发生是等可能的.【例3】如右图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画