高中数学第3章不等式3.3.3简单的线性规划问题学案苏教版必修5

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1、3.3.3　简单的线性规划问题1．了解线性规划的意义．2．了解线性规划的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．(重点)3．会利用线性规划求目标函数的最值．(难点)[基础·初探]教材整理　线性规划的有关概念阅读教材P87～P89，完成下列问题．1．可行域：约束条件所表示的平面区域．2．最优解：在约束条件下，使目标函数取得最大值、最小值的解．3．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．1．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为________．【解析】　可行域为直角三角形ABC(如图)，由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，由图象可知，

2、当直线y＝－2x＋z过点B(2,0)和点A(1,0)时，z分别取到最大值4和最小值2.【答案】　4,22．在约束条件下，目标函数z＝10x＋y的最优解是________．【解析】　作可行域如图，平移直线y＝－10x可知，z＝10x＋y的最优解是(1,0)，(0，－1)．【答案】　(1,0)，(0，－1)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：__

3、_______________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]求线性目标函数的最值　已知关于x，y的二元一次不等式组(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；(2)求函数z＝x＋2y的最大值和最小值．【精彩点拨】　作出可行域―→平移目标

4、函数―→求最值【自主解答】　(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图(1)所示．(1)由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一族平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小．解方程组得C(－2,3)，∴umin＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，解方程组得B(2,1)，∴umax＝3×2－1＝5.∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图(2)所示．(2)由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，得到斜率为－，在y轴上的截距为z，随z变化的一族

5、平行线．由上图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z最小，即z最小，解方程组得A(－2，－3)，∴zmin＝－2＋2×(－3)＝－8.当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距z最大，即z最大，∴zmax＝x＋2y＝4，∴z＝x＋2y的最大值是4，最小值是－8.求线性目标函数的最大(小)值的两种基本题型：(1)目标函数z＝Ax＋By＋C，当B>0时，z的值随直线在y轴上截距的增大而增大．(2)目标函数z＝Ax＋By＋C，当B<0时，z的值随直线在y轴上截距的增大而减小．提醒：将目标函数所表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．[再练一题]1．(2015·福建高考改编)

6、若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于________．【解析】　作可行域如图，由图可知，当直线z＝2x－y过点A时，z值最小．由得点A，zmin＝2×(－1)－＝－.【答案】　－线性规划的实际应用　某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，求该企业在一个生产周期内可获得的最大利润．【精彩点拨】　根据题目设出未知数，列出线性约束条件．设出目标函数，画出可行域，利用平移法求目标函数的最

7、大值．【自主解答】　设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系A原料B原料甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y则有目标函数z＝5x＋3y，作出可行域如图所示．把z＝5x＋3y变形为y＝－x＋得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线，由图可以看出，当直线y＝－x＋经过可行域上的A点时，截距最大，即z最大．解方程组得A的坐标为x＝3，y＝4，∴zmax＝5×3＋3×4＝27.故可获得最大利润为27万元．解答线性规