高中数学《函数的表示法》学案3 北师大版必修1

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1、函数的表示法【要点导学】1、函数的表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.2、分段函数：有些函数在它的定义

2、域中，对于自变量的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.3、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）换元法；（3）方程法；（4）配凑法等.4、作函数图象的一般步骤：（1）确定函数定义域；（2）化简或变形函数表达式（一般来说可化简成常见函数或其复合函数）；（3）利用描点法或图象变换法作出图象.5、常见的图象变换有：平移变换、对称变换和翻折变换等.【范例精析】例1　（1）已知是一次函数,且,求的解析式；（2）已知,求；（3）已知满足，求思路剖析　根据题设条件的特点，灵活采用相应的

3、方法求解.解题示范　（1）（待定系数法）设，则，即.比较系数，得，解得，或.∴或.（2）法1（换元法）：令t=（t≥1），则,∴∴（≥1）法2（配凑法）：∵，又∵≥1，∴(≥1).（3）（方程法）∵---①，将①中换成，得---②，①×2-②，得，∴.回顾反思　求函数解析式的方法：（1）待定系数法：适用于已知函数的类型，求函数的解析式；（2）换元法或配凑法：适用于已知复合函数的表达式，求的解析式，但运用时要注意正确确定中间变量的取值范围；（3）方程法：只已知关于及的一个条件要求，可通过条件再寻找关于及的另一个方程，利用解方程组求出.请

4、思考：若本题中把换成，你能求的解析式吗？（4）由实际问题求函数解析式时，常根据实际意义（如面积、距离等）确定函数解析式，并注明符合实际问题的定义域.例2　动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B、C、D再回到A.设表示P点的行程，表示PA的长，求关于的函数关系式.思路剖析　视P点所处的正方形边的位置分别计算PA的长.解题示范　如图，当P在AB边上运动，即时,PA=；当P在BC边上运动，即时，PA=＝；DPCPAPB当P在CD边上运动，即时，PA=＝；当P在DA边上运动，即时，PA=4-.P∴回顾反思　由于表示的是线段P

5、A的长度，而表示的是P点从A点出发后所走的路程，从而计算PA长度的方式应随着P点所在正方形边的位置的变化而改变，因此计算PA时需对P点的位置进行分类讨论，故不可能用关于的一个表达式来表示，应用分段函数来表示.例3　作出函数（1）=

6、

7、；（2）=

8、

9、2-2

10、

11、-1的图象.x-1O12321-1-2思路剖析　找出所作图象的函数与常见函数间的联系，利用函数的图象变换作图.解题示范　（1）当≥0时，　=当<0时，=-（)作图步骤：①作出函数=的图象②将上述图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方（原在轴上方的部分保留不变），即得=

12、x2-2x-1

13、

14、的图象（如图）.（2）当x≥0时=当x<0时=即=(-x)2-2(-x)-1x-3-2-1O123321-1-2-3作图步骤：①作出=的图象；②保留所得图象在轴右方的部分，去掉轴左方的部分，以轴为对称轴将右方部分的图象翻折到轴的左方（翻折过程中保留轴右方的图象），即得=

15、x

16、2-2

17、x

18、-1的图象（如图）.回顾反思　1、常见的图象变换有：（1）平移变换：用于研究函数的图象与的图象之间的联系：①将函数的图象向左（或向右）平移

19、k

20、个单位（k>0向左,k<0向右）得图象；②将函数的图象向上（或向下）平移

21、k

22、个单位（k>0向上,k<0向下）

23、得图象.（2）对称变换：用于研究函数的图象与、及的图象之间的联系：①函数的图象与的图象关于轴对称；②函数的图象与的图象关于轴对称；③函数的图象与的图象关于原点对称.（3）翻折变换：用于研究函数的图象与与的图象之间的联系：①将的图象在轴上方的部分不变，下方部分以轴为对称轴向上翻折即得的图象；②将的图象在轴右方的部分保留不变，去掉轴左方的部分，以轴为对称轴将右方部分向左翻折即得的图象.2、并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet）函数D()=,我们就作不出它的图象.例4　对于任意的实数，规定取4-，+1，三个值中的最

24、小值.（1）求与的函数关系式，并画出此函数的图象.（2）为何值时，最大？最大值是多少？思路剖析　所谓是4-，+1，三个值中的最小值，是对于同一个值而言的，从图象上反映应是三个函数＝4-，＝+1，＝的图象中处