高中数学 第二章 参数方程化成普通方程学案 北师大版选修4-4

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1、§3　参数方程化成普通方程1．掌握将参数方程化成普通方程的两种常用的消去参数的方法：代数法和三角恒等式法．2．选取适当的参数，能将普通方程化为参数方程．一、代数法消去参数1．代入法从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的______．我们通常把这种方法称为代入法．2．代数运算法通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行______，消去参数．【做一做1】将参数方程(t为参数)化为普通方程为__________．二、利用三角恒等式消去参数

2、如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用______消去参数．常用的三角恒等式有：sin2θ＋cOs2θ＝1，－tan2θ＝1，(sinθ＋cOsθ)2－2sinθcOsθ＝1等．将参数方程化为普通方程时，要注意两个方面：(1)根据参数满足的条件，明确x，y的取值范围；(2)消去参数后，普通方程和参数方程中的变量x和y的取值范围要保持一致．【做一做2－1】将参数方程(θ为参数)化为普通方程为__________．【做一做2－2】将参数方程化为普通方程为__________．1．曲线参数方程与普通方程互化的意义剖析

3、：在数学中有时需要把曲线的参数方程转化为普通方程，而有时又需要将普通方程转化为参数方程，这都是基于对曲线的更好的研究．有时要直接建立曲线的普通方程很困难；有时要直接建立曲线的参数方程又不容易，故在数学中常常把问题进行相互转化从而把问题更好地解决．曲线的参数方程与相应的普通方程是同一曲线方程的两种不同表现形式，在具体问题中采用哪种方程形式能更好地研究相应的曲线的性质就可以灵活地选用相应曲线的对应方程形式．2．将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法剖析：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程

4、．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程如果t是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋cOs2θ＝1消参；如果θ是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(m＋n)2－(m－n)2＝4mn消参．答案：一、1．普通方程2．代数运算【做一做1】2x－y－4＝0(x≥0)　将x＝代入y＝2－4得y＝2x－4.又∵x＝≥0，∴普通方程为2x－y－4＝0(x≥0)．二、三角函数公式中的恒等式【做一做2－1】x2＝y(－≤x≤)　由x＝sinθ＋cosθ，得x2＝1＋sin2θ，∴sin2θ＝x2－1，代入y＝1＋sin2

5、θ，得y＝x2.又∵x＝sinθ＋cosθ＝sin∈[－，]，∴普通方程为x2＝y(－≤x≤)．【做一做2－2】y＝1－2x2(－1≤x≤1)　y＝cos2θ＝1－2sin2θ.将x＝sinθ代入得y＝1－2x2.又∵x＝sinθ∈[－1,1]，∴普通方程为y＝1－2x2(－1≤x≤1)．题型一参数方程化为普通方程【例1】将下列参数方程化为普通方程：(1)(t为参数)；(2)(θ为参数)．分析：利用参数作为桥梁，进行适当变形．反思：参数方程化为普通方程常用到三角恒等式，例如：cOs2θ＋sin2θ＝1，－tan2θ＝1等．题型二普通

6、方程化为参数方程【例2】已知圆方程x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参数方程．分析：先把圆的方程化成标准形式再转化．反思：把普通方程化为参数方程时，要注意选择适当的参数，参数选取不同，参数方程就不同．在转化过程中一定要注意不要改变x，y的取值范围．题型三易错题型【例3】曲线y＝x2的一种参数方程为(　　)．A．B．C．D．错解：选A、B、C、D.错因分析：在相互转化过程中，没有注意消参前后x，y的取值范围保持一致．反思：在参数方程和普通方程互化过程中，必须使消参前后x，y的取值范围保持一致，否则互化是不等价的．答案：【例1】解

7、：(1)∵x＝t＋∴x2＝t2＋＋2.把y＝t2＋代入得x2＝y＋2.又∵x＝t＋，当t＞0时，x＝t＋≥2；当t＜0时，x＝t＋≤－2.∴x≥2或x≤－2.∴普通方程为x2＝y＋2(x≥2或x≤－2)．(2)可化为两式平方相加，得2＋2＝1.即普通方程为(x－2)2＋y2＝9.【例2】解：把x2＋y2＋2x－6y＋9＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.∴参数方程为(θ为参数)．【例3】D　在y＝x2中，x∈R，y≥0.在选项A中，x＝t2≥0，不符合题意．在选项B中，x＝sint∈[－1,1]，不符合题意．在选项C中

8、，x＝≥0，不符合题意．故选D.1参数方程(t为参数)表示的图形为(　　)．A．直线B．圆C．线段(但不包括右端点)D．椭圆2参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　)．A．y＝x－2(2≤x≤3)B．y＝x－2C．y＝2x－1(1≤