高中数学 第1章 解三角形 正弦定理和余弦定理 章末整合章末检测同步精品学案 新人教a版必修5

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1、章末整合对点讲练一、正、余弦定理解三角形的基本问题例1　在△ABC中，(1)已知a＝，b＝，B＝45°，求A、C、c；(2)已知sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角．点拨　(1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A，再求其余的量．(2)先由sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，求出a∶b∶c，再由余弦定理求出最大角．解　(1)由正弦定理及已知条件有＝，得sinA＝，∵a>b，∴A>B＝45°，∴A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝＝，当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝

2、＝＝.(2)根据正弦定理可知a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，∴边c最大，即角C最大．设a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k，则cosC＝＝＝－.∵C∈(0，π)，∴C＝.回顾归纳　已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．►变式训练1　(1)△ABC中，AB＝1，AC＝，∠C＝30°，求△ABC的面积；(2)已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．解　(1)＝，

3、∴sinB＝，∴B＝60°或120°，当B＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝.当B＝120°时，A＝30°，∴S△ABC＝××1×sin30°＝.综上，△ABC的面积为或.(2)∵S＝absinC，∴sinC＝，于是C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝21，∴c＝；当C＝120°时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab＝61，∴c＝.∴c的长度为或.二、正、余弦定理在三角形中的应用例2　在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长．已知b2＝ac且a2－c2＝ac－bc.(1)

4、求∠A的大；(2)求的值．点拨　(1)利用cosA＝求解；(2)利用正弦定理对代数式进行转化．解　(1)∵b2＝ac且a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝，∴A＝60°.(2)方法一　在△ABC中，由正弦定理得：sinB＝，∵b2＝ac，∴＝.∴sinB＝＝，∴＝sinA＝sin60°＝.方法二　在△ABC中，由面积公式得：bcsinA＝acsinB∵b2＝ac，∴bcsinA＝b2sinB，∴＝sinA＝sin60°＝.回顾归纳　(1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关

5、系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．(2)要注意利用△ABC中A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)＝－cosA，tan(B＋C)＝－tanA，sin＝cos等，进行三角变换的运算．►变式训练2　在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2－cos2A＝.(1)求∠A的度数；(2)若a＝，b＋c＝3，求b、c的值．解　(1)∵B＋C＝180°－A，∴＝90°－.由4sin2－cos2A＝，得4cos2－cos2A＝，即2(1＋cosA)－(2cos2A－1)＝.整理得4cos2A－4cosA＋1

6、＝0.∴cosA＝，又0°

7、x，PC=2x.在△PAC中，由余弦定理得AC2=PA2+PC22PA·PC·cos75°，即4=2x2+4x24x2·，解得x2=，过P作PD⊥AC，垂足为D，则线段PD的长为塔到直路的距离．在△PAC中，由于AC·PD=PA·PC·sin75°，得PD，=(km)．答　塔到直路的距离为km.回顾归纳　(1)解斜三角形应用题的程序是：①准确地理解题意；②正确地作出图形(或准确地理解图形)；③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；④根据实际意义和