高中数学 空间几何体的体积学案 新人教a版必修2

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1、高二数学学案(25)空间几何体的体积教学目标：⒈通过直观感知长方体的体积公式，并由此推出柱、锥、台的体积公式，并能运用体积公式求出相关几何体的体积。⒉了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系，初步掌握求体积的常规方法，例如割补法，等积转换等。一、课前预习1.回忆初中学过的计算长方体的体积公式．或．2.两个底面积相等、高也相等的棱柱，它们的体积是否一样？3.取一摞书堆放在桌面上，组成一个长方体，推动一下，改变形状，保持高不变，体积是否改变？4.两个底面积相等、高也相等的棱柱，它们的体积是否一样？

2、（通过一摞书演示，说明祖暅原理：两个等高的几何体，若在所有高处的截面面积相等，则此两个几何体的体积相等）二、课中研学（探究柱、锥、台的体积公式及关系）1.棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积和高的积，即．AA1B1CC1B2.类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等．棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为，高为的棱柱的体积，所以．（1）三棱锥的体积：V柱＝++

3、,而＝，＝＝＝，故V柱＝3V锥，所以V三棱锥＝V棱柱＝Sh（2）根据祖暅原理一般锥体体积V锥＝Sh3．台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算．台体由锥体截得，以三棱台为例，如图设台体上下底面面积为S/、S,高为h,补成棱锥后上面小棱锥的高为x，则V台＝V大锥－V小锥＝S(x+h)-S/x=Sh+(S-S/)x,而,于是x=,代入V台=Sh+(+)h=(S++S/)h台体（棱台、圆台）的体积．4．柱锥台体积公式间的关系⒌运用祖暅原理类似的方法我们还能证实这样一个结论：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一

4、个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．由此得到，所以．这个结论可以通过“倒沙实验”得到．⒍设想一个球由许多顶点在球心，底面都在球面上的“准锥体”组成，这些“准锥体”的底面并不是真正的多边形，但只要这些“准锥体”的底面足够地小，就可以把它们近似地看成棱锥．这时，这些“准锥体”的高趋向于球半径，底面积……的和趋向于球面积，所有这些“准锥体”的体积的和趋向于球的体积，因此…，所以．例1.有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重6．已知底面正六边形边长是12，高是10，内孔直径

5、是．那么约有毛坯多少个？（铁的比重是）思考：如何求几何体的体积？（1）公式法；（2）割补法例2.AB、CD分别在两平行平面α、β内，AB⊥CD，AB=CD=a,α、β的距离为h，求四面体ABCD的体积说明：补的技巧是：分析出要补成的结果，先画后找三、课堂巩固⒈课本P54/1，2,3,4⒉如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，若截面是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为。四、课后整学：《数学之友》