高中数学 3.3.1《指数函数的概念》学案 北师大版必修1

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1、3.1指数函数的概念指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还称为欧拉数。　　指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在x等于0的时候等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识：d（a︿x）/dx=a︿x*ln(a)。　　作为实数变量x的函数，y=ex的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴，尽管它可以任意程度的靠近

2、它(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。　　有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如kax的指数函数函数，这里的a叫做“底数”，是不等于1的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e的指数函数。　　指数函数的一般形式为y=a︿x(a>0且≠1)(x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得　　如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。　　在函数y=a︿x中可以看到：　　（1）指数

3、函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，　　同时a等于0函数无意义一般也不考虑。　　（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。　　（3）函数图形都是下凸的。　　（4）a大于1时，则指数函数单调递增；若a小于1大于0，则为单调递减的。　　（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近

4、于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。　　（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。　　（7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a︿x+b,则函数定过点(0,1+b)　　（8）显然指数函数无界。　　（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。　　（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。　　（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。编辑本段指数函数求

5、导公式的推导　　e的定义：e=lim(x→∞)(1+1/x)︿x=2.718281828...设a>0,a!=1----(loga(x))'=lim(Δx→∞)((loga(x+Δx)-loga(x))/Δx)=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*loga((x+Δx)/x))=lim(Δx→∞)(1/x*loga((1+Δx/x)︿(x/Δx)))=1/x*lim(Δx→∞)(loga((1+Δx/x)︿(x/Δx)))=1/x*loga(lim(Δx→0)(1+Δx/x)︿(x/Δx))=

6、1/x*loga(e)特殊地，当a=e时，(loga(x))'=(lnx)'=1/x。----设y=a︿x两边取对数lny=xlna两边对求x导y'/y=lnay'=ylna=a︿xlna特殊地，当a=e时，y'=(a︿x)'=(e︿x)'=e︿xlne=e︿x。编辑本段底数与指数函数图像：　　指数函数（1）由指数函数y=a︿x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。　　（2）由指数函数y=a︿x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像

7、从下到上相应的底数由大变小。　　（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。（如右图）》。编辑本段幂的大小比较：　　比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。　　比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：　　（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。　　例如：y

8、1=3︿4,y2=3︿5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1.　　（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。　　例如：y1=1/2︿4,y2=3︿4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.　　（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的