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《高中数学 3.1.1两角差的余弦公式学案 新人教a版必修4 (2)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2016高中数学3.1.1两角差的余弦公式学案新人教A版必修4学习目标:1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.学习重点:通过探索得到两角差的余弦公式学习难点:通过简单运用,初步理解公式的结构及其功能一.知识导学:两角差的余弦公式C(α-β):cos(α-β)=_____________________________,其中α、β为任意角.二.探究与发现【探究点一】两角差余弦公式的探索问题1 有人认为cos(α-
2、β)=cosα-cosβ,你认为正确吗,试举两例加以说明.问题2 请你计算下列式子的值,并根据这些式子的共同特征,写出一个猜想.①cos45°cos45°+sin45°sin45°=____;②cos60°cos30°+sin60°sin30°=_____;③cos30°cos120°+sin30°sin120°=_____;④cos150°cos210°+sin150°sin210°=_____.猜想:cosαcosβ+sinαsinβ=______________;即:_____________________
3、___________.【探究点二】两角差余弦公式的证明如图,以坐标原点为中心,作单位圆,以Ox为始边作角α与β,设它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,请回答下列问题:(1)P点坐标是__________,向量=________________,
4、
5、=______.Q点坐标是____________,向量=______________,
6、
7、=______.(2)当α为钝角,β为锐角时,α-β和向量与的夹角〈,〉之间的关系是:____________________;当α为锐角,β为钝角时,α-β和向量与的夹角〈,
8、〉之间的关系是:_______________;当α,β均为任意角时,α-β和〈,〉的关系是:_____________________________.(3)向量与的数量积·=
9、
10、
11、
12、cos〈,〉=____________________________;另一方面,与的数量积用点坐标形式表示:·=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=_______________________从而,对任意角α,β均有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.【探究点三】 两角差余弦公式的应用根据两角差的余
13、弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ解答下列问题,体验公式的正向、逆向应用的灵活选择.问题1 写出下列式子的化简结果:(1)cos80°cos20°+sin80°sin20°=____;(2)sinαsin(α+β)+cosαcos(α+β)=_______;(3)sin57°cos63°+cos57°sin63°=__________.问题2 利用公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,证明下列诱导公式:(1)cos(π-x)=-cosx;(2)cos=-sinx.【典型例
14、题】例1 求下列三角函数式的值.(1)sin;(2)cos15°cos105°+sin15°sin105°;(3)cos(α-45°)cos(15°+α)+sin(α-45°)sin(15°+α).跟踪训练1 求cos105°+sin195°的值.例2 已知α,β均为锐角,sinα=,cos(α-β)=,求cosβ的值.跟踪训练2 设cos=-,sin=,其中α∈,β∈,求cos.例3 已知cosα=,cos(α+β)=-,且α、β∈,求β的值.跟踪训练3 已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,
15、α+β∈,求角β的值.三、巩固训练:1.设α∈,若sinα=,则cos等于( )A.B.C.-D.-2.cos15°+sin15°=________.3.已知sinα+sinβ=,cosα+cosβ=,求cos(α-β)的值.4.已知锐角α、β满足cosα=,tan(α-β)=-,求cosβ.四、课堂小结;1.给式求值或给值求值问题,即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值),求另外一些角的三角函数值,关键在于“变式”或“变角”,使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用,有时需运用拆角、拼角
16、等技巧.2.“给值求角”问题,实际上也可转化为“给值求值”问题,求一个角的值,可分以下三步进行:①求角的某一三角函数值;②确定角所在的范围(找区间);③确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目而定.
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