高中数学 2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质学案 新人教a版必修2

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1、直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质1.直线和平面垂直的性质2.平面和平面垂直的性质3.面面垂直线面垂直线线垂直1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”错误的画“×”.(1)a.垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(√)b.垂直于同一个平面的两条直线互相平行.(√)c.一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直.(√)(2)已知直线a,b和平面,且a⊥b,a⊥,则b与的位置关系是.答案:b∥或b.2.(1)下列命题中错误的是(A)A.如果平面⊥平面,那么平面内所有直线垂直于平面.B.如果平

2、面⊥平面,那么平面内一定存在直线平行于平面.C.如果平面不垂直平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面.D.如果平面⊥平面,平面⊥平面,,那么.(2)已知两个平面垂直,下列命题(B)①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是()A.3B.2C.1D.03.设直线a,b分别在正方体ABCD–A′B′C′D′中两个不同的面所在平

3、面内,欲使a∥b,a,b应满足什么条件?答案:不相交,不异面4.已知平面,,直线a,且,,a∥,a⊥AB,试判断直线a与直线的位置关系.答案:平行、相交或在平面内经典习题例1把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面,另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直,a是内一条直线,若斜边AB与a垂直,则BC是否与a垂直?【解析】【评析】若BC与垂直,同理可得AB与也垂直,其实质是三垂线定理及逆定理,证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法:“线线垂直→线面垂直→线线垂直”.例2求证:如果两个平面都垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于

4、第三个平面.已知⊥r,⊥r,∩=l,求证:l⊥r.【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面、垂直.或由面面垂直的性质易在、内作出平面r的垂线,再设法证明l与其平行即可.【证明】法一:如图,设∩r=a,∩r=b,在r内任取一点P.过点P在r内作直线m⊥a,n⊥b.∵⊥r,⊥r,∴m⊥a,n⊥(面面垂直的性质).又∩=l,∴l⊥m,l⊥n.又m∩n=P,m,nr∴l⊥r.法二:如图,设∩r=a,∩r=b,在内作m⊥a,在内作n⊥b.∵⊥r,⊥r,∴m⊥r,n⊥r.∴m∥n,又n,m,∴m∥,又∩

5、=l,m,∴m∥l,又m⊥r,∴l⊥r.【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键.证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化;证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化.此题是线线、面面垂直转化的典型题,通过一题多解,对沟通知识和方法,开拓解题思路是有益的.

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