高中数学 2.2等差数列(第2课时)目标导学 新人教a版必修5

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1、第2课时　等差数列的性质1．复习巩固等差数列的概念及其通项公式．2．掌握等差中项的应用．3．掌握等差数列的性质，并能解决有关问题．1．等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的______，公差通常用字母d表示．定义还可以叙述为：在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数，则数列{an}是等差数列．常数d称为等差数列的公差．(2)通项公式：an＝____________，a1为首项，d为公差．【做一做1－1】等差数列{an}的公

2、差d＝2，a1＝2，则an等于(　　)A．2B．2n－2C．2nD．2n＋2【做一做1－2】在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝__________.2．等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的______．由a，A，b成等差数列，得A－a＝b－A，所以A＝.反过来，如果A＝，那么2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a，A，b成等差数列．【做一做2】x＋1与y－1的等差中项为10，则x＋y等于(　　)A．0B．10C．20D．不确定答案：1．(1)同一个常数　公差　(2)a1＋(n－1)d【做一做1－1】C【做一做1－2】1

3、32．等差中项【做一做2】C1．等差数列的性质剖析：若数列{an}是公差为d的等差数列，则(1)当d＝0时，数列为常数列；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．(2)d＝＝(m，n，k∈N*)．(3)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(5)若＝k，则am＋an＝2ak(m，n，k∈N*)．(6)若数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…(n，i∈N*)．(

4、7)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．(8)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．(9)若数列{bn}也为等差数列，则{kan＋mbn＋b}(k，m，b为常数)是等差数列．由等差数列的定义及通项公式易证明性质(1)(2)(3)(4)(6)(8)(9)，下面证明其他两个．证明性质(5)：∵an＝a1＋(n－1)d，∴am＝a1＋(m－1)d，ak＝a1＋(k－1)d，∴am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d＝2a1＋(2k－2)d＝2a1＋2(k－1)d＝2[a1＋(k－

5、1)d]＝2ak.证明性质(7)：∵an＝a1＋(n－1)d，且λ，b为常数，∴λan＋b＝λ[a1＋(n－1)d]＋b＝(λa1＋b)＋(n－1)λd，λan－1＋b＝λ[a1＋(n－2)d]＋b＝(λa1＋b)＋(n－2)λd，∴(λan＋b)－(λan－1＋b)＝λd(常数)，∴数列{λan＋b}也是等差数列，公差为λd.2．对问题“等差数列{an}中，若m＝p＋q(m，p，q∈N*)，则am＝ap＋aq不成立”的理解剖析：要解决这个问题，我们还是回到性质“等差数列{an}中，当m，n，p，q∈N*，m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq”的推

6、导中．事实上，由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d＝kn＋b(k，b为常数)，所以我们有am＝km＋b，ap＝kp＋b，aq＝kq＋b，则ap＋aq＝k(p＋q)＋2b，令km＋b＝k(p＋q)＋2b，注意到m＝p＋q，所以b＝0.这告诉我们，当且仅当b＝0，即a1＝d时，上述结论才成立，而对于一般等差数列而言，a1≠d.因此等差数列{an}中，若m＝p＋q，则am＝ap＋aq不一定成立．这个事实告诉我们，在学习中遇到一些似是而非的问题时，要加以推理论证，而不要随意地类比迁移．题型一等差数列性质的应用【例题1】设{an}为等差数列，若a3＋a4

7、＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.分析：方法一：依性质“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”求解即可．方法二：将a3＋a4＋a5＋a6＋a7用a1，d表示，再将a2＋a8用a1，d表示，从中寻找关系来解决．反思：(1)比较方法一和方法二，显然方法一要优于方法二，因此要注意灵活运用性质解题．(2)等差数列的性质实质上是数列的定义、通项、等差中项的综合应用，因此应用得法可为解题带来极大的方便，如本题方法一．题型二等差中项的应用【例题2】已知三个数成等差数列并且是递增数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．分析：充分利用等差中项的定

8、义求解未知量．反思：当三个数或四个数成等差数列时，可设出这几个数，由已知条件列方程组求解，如本