高中数学 2.2.1第2课时对数的运算学案 新人教a版必修1

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1、第2课时　对数的运算[学习目标]　1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数．[知识链接]在指数的运算性质中：am·an＝am＋n，＝am－n，(am)n＝amn.[预习导引]1．对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0.那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(2)loga＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM，(n∈R)．2．换底公式logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b>0)．温馨提示　常用结论(1)loganbn＝log

2、ab；(2)logambn＝logab；(3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad.要点一　对数运算性质的应用例1　计算下列各式的值：(1)lg－lg＋lg；(2)lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.解　(1)方法一　原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.方法二　原式＝lg－lg4＋lg7＝lg＝lg(·)＝lg＝.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg

3、10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.规律方法　1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪演练1　计算下列各式的值：(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2).解　(1)原式＝(lg5)2＋lg2(2－lg2)＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg

4、5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝＝＝.要点二　换底公式的应用例2　已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.解　方法一　由18b＝5，得log185＝b，又log189＝a，所以log3645＝＝＝＝.方法二　a＝log189＝＝，所以lg2＝.①又18b＝5，则b＝log185＝＝，所以lg5＝lg3.②log3645＝＝＝，将①②两式代入上式并化简整理，得log3645＝.方法三　设log3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9，从而有182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以18为

5、底的对数，得2x＝log185＋(x＋1)log189，又18b＝5，所以b＝log185.所以2x＝b＋(x＋1)a，解得x＝，即log3645＝.规律方法　1.利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．2．题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化、统一成一种形式．跟踪演练2　(1)(log29)·(log34)等于(　　)A.B.C．2D．4(2)log2·log3·log5＝________.答案　(1)D　(2)－12解析　(1)(log29)·lg34＝(log232)·(log322)＝2lo

6、g23·(2log32)＝4log23·log32＝4.(2)原式＝··＝＝－12.要点三　对数的实际应用例3　一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)解　设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：经过1年，剩余量是y＝0.75；经过2年，剩余量是y＝0.752；……经过x年，剩余量是y＝0.75x；由题意得0.75x＝，∴x＝log0.75＝＝≈4.∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的.规律方法　解决对数应用题的一般

7、步骤跟踪演练3　里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．答案　6　10000解析　由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lg＝lgA1－lgA2＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝9－5＝4.所以

8、＝104＝