高中数学 1.3.2奇偶性学案 新人教a版必修1

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1、1.3.2　奇偶性[学习目标]　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题．[知识链接]1．关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于原点对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．2．如图所示，它们分别是哪种对称的图形？答案　第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，第二个和第三个图形为轴对称图形．3.观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么

2、共同特征吗？答案　图象关于原点对称．[预习导引]1．偶函数(1)定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数．(2)图象特征：图象关于y轴对称．2．奇函数(1)定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数．(2)图象特征：图象关于原点对称．3．奇偶性的应用中常用到的结论(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则必有f(0)＝0.(2)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f

3、(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.(3)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是增函数．解决学生疑难点　　要点一　判断函数的奇偶性例1　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－

4、x

5、；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝解　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－

6、－x

7、＝2－

8、x

9、＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－

10、f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x

11、x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．规律方法　判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关

12、于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．跟踪演练1　(1)下列函数为奇函数的是(　　)A．y＝

13、x

14、B．y＝3－xC．y＝D．y＝－x2＋14(2)若f(x)＝ax

15、2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数答案　(1)C　(2)A解析　(1)A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．(2)∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．要点二　利用函数奇偶性研究函数的图象例2　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5

16、]，且在区间[0,5]上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．答案　(－2,0)∪(2,5)解析　因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．规律方法　给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象．作对称图象时，可以

17、先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)．跟踪演练2　设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________________________．答案　{x

18、－5≤x＜－2，或2＜x≤5}解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解．∵当x∈[0,5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5，所以当x∈[－5,0]时，f