高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则2学案 选修2-2

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1、选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4[答案]　D[解析]　y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′

2、x＝1＝4.2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝(　　)A．x4B．x4－2C．4x3－5D．x4＋2[答案]　B[解析]　∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－

3、1∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是(　　)A.B.C.D.[答案]　A[解析]　∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝，故选A.4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在(　　)A．第

4、一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]　C[解析]　由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a2－，顶点在第三象限，故选C.5．函数y＝(2＋x3)2的导数为(　　)A．6x5＋12x2B．4＋2x3C．2(2＋x3)2D．2(2＋x3)·3x[答案]　A[解析]　∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.6．(2010·江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　

5、　)A．－1B．－2C．2D．0[答案]　B[解析]　本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2要善于观察，故选B.7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝(　　)A．0B．－1C．－60D．60[答案]　D[解析]　∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9·(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60.8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是(

6、　　)A．2cosB．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2xD．2cos[答案]　A[解析]　y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝2cos.9．(2010·高二潍坊检测)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)A．3B．2C．1D.[答案]　A[解析]　由f′(x)＝－＝得x＝3.10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为(　　)A．－B．0C.D．5[答案]　B[解析]　由题设可知f(x＋5)

7、＝f(x)∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0)又f(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x)即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0故f′(5)＝f′(0)＝0.故应选B.二、填空题11．若f(x)＝，φ(x)＝1＋sin2x，则f[φ(x)]＝_______，φ[f(x)]＝________.[答案]　，1＋sin2[解析]　f[φ(x)]＝＝＝

8、sinx＋cosx

9、＝.φ[f(x)]＝1＋sin2.12．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝_______

10、_.[答案]　[解析]　f′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin.若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．[答案]　32x(1＋2x2)7[解析]　令u＝1＋2x2，则y＝u8，∴y′x＝y′u·u′x＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.14．函数y＝x的导数为________．[答案]　[解析]　y′＝(x)′＝

11、x′＋x()′＝＋＝.三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y＝xsin2x；　　(2)y＝ln(x＋)；(3)y＝；　　(4)y＝.[解析]　(1)y′＝(x)