附录有效质量近似（effective mass approximation）.doc

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1、附录：有效质量近似(effectivemassapproximation):理想晶体能带理论中的单电子态满足方程（2.3-9）本征波函数可表述为布洛赫波（2.3-10）其中下标标记所属的能带。该态的能量为，可在带顶处展开为（2.3-11）其中为有效质量，（2.3-12）是空间的周期函数，可展开为Fourier级数：（2.3-13）其中为正格矢把中的换成算符，构造了一个算符它作用在布洛赫波函数上得（2.3-14）上式中利用了泰勒展开也即，是平移算符，它把变为。可见是算符的属于本征值的本征函数。当晶体中存在缺陷时，周期势受扰动，变为，薛

2、定谔方程变为（2.3-15）方程的解可按的本征函数---布洛赫函数展开为波包：（2.3-16）将它代入薛定谔方程(2.3-15)，得（2.3-17）对典型的浅杂质能级，可作如下近似：首先，假定波包中只包含导带的波函数。例如对半导体中的施主，当导带电子束缚在缺陷上的束缚能比带隙小得多（比如），波函数的展开式的取和可只限于一个带（这里为导带），其它带的能量差得较远，对波函数的贡献较小。再考虑到算符不依赖于，可提出取和号，方程变为（2.3-18）第二，考虑到电子波函数展布的范围比晶格常数大得多，*晶格可视为均匀的连续介质，可用介电常数来反

3、映它对电子与缺陷相互作用的影响。于是，带一个单位正电荷的施主杂质与电子的库仑相互作用（2.3-19）*同样由于电子波函数展布的空间范围大，这样的状态在空间的范围将明显小于布里渊区，也即它的展开式将只包含空间能带极值附近小范围内的布洛赫波。对各向同性，抛物线型的导带底（），取和只对小的值就足够。而布洛赫函数中，具有晶格周期性的因子，在附近：作了这些近似后，被陷阱束缚的电子的这种浅能级的波函数变为：（2.3-20）上式定义了波函数的轮廓函数算符作用在这样的波函数上，得：（2.3-21）利用上式，薛定谔方程变成：（2.3-22）二边约掉因

4、子，方程即变为：（2.3-23）原先方程中的是空间快变化的函数，现在的新方程是关于慢变化的轮廓函数的方程。如果导带底具有各向同性的抛物线型结构，上述算子在导带底附近可近似为：（2.3-24）于是方程（2.3-23）变为：（2.3-25）这一方程形式上与熟知的氢原子的薛定谔方程完全一致，这一近似因而也称之为类氢模型。“类氢”是对波函数展开式的轮廓函数而言的。上述方程的解可以套用氢原子的薛定谔方程的解来得到。本征能为：（2.3-26）也可写出相应的本征波函数。例如基态轮廓函数：（2.3-27）其中，，为氢原子玻尔半径。由可计算，对类氢基

5、态可得：（2.3-28）即波包是局限于空间中，半径为量级的区域里。对Si，Ge，这仅仅是布里渊区尺寸的百分之几。