专题四 第一讲

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1、专题四　数列、推理与证明第一讲　等差数列与等比数列1．an与Sn的关系：Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝2．等差数列和等比数列等差数列等比数列定义an－an－1＝常数(n≥2)＝常数(n≥2)通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n≥1)⇔{an}为等差数列(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列(5){an}为

2、等比数列，an>0⇔{logaan}为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a＝an·an＋2(n≥1)(an≠0)⇔{an}为等比数列(3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列(4){an}为等差数列⇔{aan}为等比数列(a>0且a≠1)性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(2)an＝am＋(n－m)d(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·a

3、n＝ap·aq(2)an＝amqn－m(3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)仍成等比数列前n项和Sn＝＝na1＋d(1)q≠1，Sn＝＝(2)q＝1，Sn＝na11．(2013·江西)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)A．－24B．0C．12D．24答案　A解析　由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)．故数列的第四项为－24.2．(2012·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}

4、的公差为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　B解析　方法一　设等差数列{an}的公差为d，由题意得　解得∴d＝2.方法二　∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5.又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2.3．(2013·辽宁)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为(　　)A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4答案　D解析　a

5、n＝a1＋(n－1)d，d＞0，∴an－an－1＝d＞0，命题p1正确．nan＝na1＋n(n－1)d，∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小和a1的取值情况有关．故数列{nan}不一定递增，命题p2不正确．对于p3：＝＋d，∴－＝，当d－a1＞0，即d＞a1时，数列{}递增，但d＞a1不一定成立，则p3不正确．对于p4：设bn＝an＋3nd，则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.∴数列{an＋3nd}是递增数列，p4正确．综上，正确的命题为p1，p4.4．(2013·

6、重庆)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.答案　64解析　因为a1，a2，a5成等比数列，则a＝a1·a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，d＝2.所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S8＝＝4×(1＋15)＝64.5．(2013·江苏)在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．答案　12解析　由已知条件a5＝，a6＋a7＝3，

7、即q＋q2＝3，整理得q2＋q－6＝0，解得q＝2，或q＝－3(舍去)．an＝a5qn－5＝×2n－5＝2n－6，a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)，a1a2…an＝2－52－42－3…2n－6＝2，由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an可知2n>2＋1，n≤12.题型一　等差(比)数列的基本运算例1　(2012·山东)已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和S

8、m.审题破题　(1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出an.(2)求出bm，再根据其特征选用求和方法．解　(1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn，由T5＝105，a10＝2a5，得解得a1＝7，d＝7.因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．(2)对m∈N*，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1.因此bm＝72m－1.所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm＝＝＝＝.