一轮复习配套讲义：第2篇 第讲 导数在研究函数中的应用

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1、第11讲　导数在研究函数中的应用[最新考纲]1．了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).知识梳理1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增．(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．2

2、．函数的极值与导数极大值函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则x0为函数的极大值点，f(x0)叫函数的极大值极小值函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则x0为函数的极小值点，f(x0)叫函数的极小值3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内

3、的极值．②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．辨析感悟1．导数与单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(×)(2)函数在其定义域内离散的点处导数等于0不影响函数的单调性．(√)(3)(2012·辽宁卷改编)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(0,1]．(√)2．导数与极值的关系问题(4)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(5)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(×)(6)(2012·陕西卷改编)函数f(x)＝xex在x＝－1处取得极小值．(√)

4、3．关于闭区间上函数的最值问题(7)函数在开区间一定不存在最大值和最小值．(×)(8)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)(9)(2014·郑州调研改编)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是e－1.(√)[感悟·提升]1．一点提醒　函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．极大值与极小值没有必然的大小关系，如(4)．2．两个条件　一是f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．如(1)．二是对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极

5、值的必要不充分条件．如(5)．3．三点注意　一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则．二是函数的极值一定不会在定义域区间的端点取到．三是求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．不可想当然认为极值就是最值，如(8).学生用书第40页考点一　利用导数研究函数的单调性【例1】(2013·广东卷改编)设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2.(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．解　(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)

6、．令f′(x)>0，即x(ex－2)>0，∴x>ln2或x<0.令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴0

7、键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．【训练1】已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．解　(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.由f′(x)≥0，得a≤.记t(x)