一轮复习配套讲义：第2篇 第12讲 导数的综合应用

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1、第12讲　导数的综合应用[最新考纲]1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2．会利用导数解决某些简单的实际问题.知识梳理1．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研

2、究．辨析感悟1．函数最值与不等式(方程)的关系(1)(教材习题改编)对任意x>0，ax2＋(3a－1)x＋a≥0恒成立的充要条件是a∈.(√)(2)(2011·辽宁卷改编)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是(－∞，2ln2－2]．(√)2．关于实际应用问题(3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定．(√)(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(×)(5)(2014·贵阳调研改编)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂

3、家获取最大年利润的年产量为9万件．(√)[感悟·提升]1．两个转化　一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2)．2．两点注意　一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3)．二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如(4)．若在开区间内有极值，则一定有最优解.考点一　导数在方程(函数零点)中的应用【例1】(2013·北京卷)已知函数f(x)＝x2＋

4、xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．审题路线　(1)由导数的几何意义，知f′(a)＝0且f(a)＝b，解方程得a，b的值．(2)两曲线的交点问题，转化为方程x2＋xsinx＋cosx－b＝0.通过判定零点个数来求解．解　由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝2x＋sinx＋x(sinx)′－sinx＝x(2＋cosx)．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2

5、＋cosa)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)设g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsinx＋cosx－b.令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cosx)＝0，得x＝0.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)g′(x)－0＋g(x)·1－b·所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝b最多有一个交点，不合题意．②当1－b<0时，即b>1时，

6、有g(0)＝1－b<0，g(2b)＝4b2＋2bsin2b＋cos2b－b>4b－2b－1－b>0.∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y＝g(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点．故当b>1时，y＝g(x)在R上有两个零点，则曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．规律方法(1)在解答本题(2)问时，可转化为判定f(x)＝b有两个实根时实数b应满足的条件，并注意g(

7、x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数y＝f(x)的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．(2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.学生用书第43页【训练1】(2012·天津卷节选)已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围．解　(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(

8、x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x＝－1或a(a>0)．当x变化时f′(x)与f(x)