一轮复习配套讲义：第2篇 第讲 变化率与导数、导数的计算

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1、第10讲　变化率与导数、导数的计算[最新考纲]1．了解导数概念的实际背景；2．通过函数图象直观理解导数的几何意义；3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数；4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数[仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数]的导数.知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或.②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(

2、x0，f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a>0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(

3、x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)′＝(g(x)≠0)．4．复合函数的导数设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝f′(u)·v′(x)．辨析感悟1．对导数概念的理解(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(×)(3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．(√)2．导数的几何意义与物理意义(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)(5)物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t＝0.(×)(

4、6)(2012·广东卷改编)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为2x－y＋1＝0.(√)3．导数的计算(7)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(×)(8)(教材习题改编)函数y＝xcosx－sinx的导函数是y′＝－xsinx．(√)(9)[f(ax＋b)]′＝f′(ax＋b)．(×)[感悟·提升]1．“过某点”与“在某点”的区别曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．2．导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式

5、求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，如(4)．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积，如(9).学生用书第37页考点一　导数的计算【例1】分别求下列函数的导数：(1)y＝ex·cosx；　　(2)y＝x－sincos；(3)y＝.解　(1)y′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx－exsinx.(2)∵y＝x－sincos＝x－sinx，∴y′＝′＝1－

6、cosx.(3)y′＝′＝＝＝＝.规律方法(1)本题在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误；②不能正确运用求导公式和求导法则，在第(3)小题中，忘记对内层函数2x＋1进行求导．(2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．【训练1】(1)(2013·江西卷改编)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.(2)若f(x)＝＋e2x，则f′(x)＝________.解析　(1)令ex＝t，则x＝lnt

7、，∴f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝lnx＋x.因此f′(x)＝(lnx＋x)′＝＋1，于是f′(1)＝1＋1＝2.考点二　导数的几何意义【例2】(1)(2013·广东卷)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.(2)设f(x)＝xlnx＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为____________________．解析　(1