高三数学大一轮复习讲义 第4章 三角函数的图象与性质学案 苏教版

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1、学案18　三角函数的图象与性质导学目标：1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．自主梳理1．周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定域内的每一个x值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数____叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_______

2、_________，那么这个________________就叫做f(x)的最小正周期．2．三角函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域值域周期性奇偶性单调性在______________上增，在______________上减在_____________上增，在_____________上减在定义域的每一个区间____________________内是增函数对称性对称中心(kπ，0)(k∈Z)(kπ＋，0)(k∈Z)(，0)(k∈Z)对称轴x＝kπ＋，(k∈Z)x＝kπ，(k∈Z)无自我检

3、测1．设点P是函数f(x)＝sinωx(ω≠0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是________．2．函数y＝3－2cos(x－)的最大值为________，此时x＝________.3．函数y＝tan(－x)的定义域是________．4．比较大小：sin(－)________sin(－)．5．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么

4、φ

5、的最小值为________．探究点一　求三角函数的定义域例1　求函数y＝＋的定义域．变式迁移1　函数y＝＋

6、lg(2sinx－1)的定义域为________________________．探究点二　三角函数的单调性例2　求函数y＝2sin的单调区间．变式迁移2　(1)求函数y＝sin，x∈[－π，π]的单调递减区间；(2)求函数y＝3tan的周期及单调区间．探究点三　三角函数的值域与最值例3　已知函数f(x)＝2asin(2x－)＋b的定义域为[0，]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．变式迁移3　设函数f(x)＝acosx＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin(ax＋)的周期．转化与化归思想

7、例　(14分)求下列函数的值域：(1)y＝－2sin2x＋2cosx＋2；(2)y＝3cosx－sinx，x∈[0，]；(3)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.【答题模板】解　(1)y＝－2sin2x＋2cosx＋2＝2cos2x＋2cosx＝2(cosx＋)2－，cosx∈[－1,1]．当cosx＝1时，ymax＝4，当cosx＝－时，ymin＝－，故函数值域为[－，4]．[4分](2)y＝3cosx－sinx＝2cos(x＋)．∵x∈[0，]，∴≤x＋≤，∵y＝cosx在[，]上单调递减，∴－≤cos(x＋

8、)≤，∴－≤y≤3，故函数值域为[－，3]．[9分](3)令t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝，且

9、t

10、≤.∴y＝t＋＝(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1；当t＝时，ymax＝＋.∴函数值域为[－1，＋]．[14分]【突破思维障碍】　1．对于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y＝asinωx＋bcosωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝sin(ωx＋φ)＋c的形式，从而求得函数的最值．2．关于y＝aco

11、s2x＋bcosx＋c(或y＝asin2x＋bsinx＋c)型或可化为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．给你提个醒！不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，

12、利用y＝sinx的单调区间来求．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.2．(2010·江苏6校高三联考)已知函数y＝tanωx(ω>0)与直线y＝a相交于A、B两点，且

13、AB

14、最小值为π，则