高三数学一轮 3.4 定积分与微积分基本定理导学案 理 北师大版

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1、§3.4　定积分2014高考会这样考　1.考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理；2.利用定积分求曲边梯形面积、变力做功、变速运动的位移等．复习备考要这样做　1.理解定积分的概念和几何意义；2.会用微积分基本定理求定积分，解决一些几何、物理问题．1．用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近似代替、求和、取极限．2．定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx.当n→∞时，上述和

2、式无限接近于某个常数，这个常数叫作函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃf(x)dx，即ʃf(x)dx＝f(ξi)，其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，f(x)dx称为被积式，[a，b]为积分区间，a为积分下限，b为积分上限，“ʃ”称为积分号．3．定积分的运算性质(1)ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)．(2)ʃ[f(x)±g(x)]dx＝ʃf(x)dx±ʃg(x)dx.(3)ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(a

3、x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿——莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x)

4、，即ʃf(x)dx＝F(x)

5、＝F(b)－F(a)．[难点正本　疑点清源]1．定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．2．由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3．利用定积分和曲边梯形面积的关系也可以计算定积分．1．(2012·江西

6、)计算定积分ʃ(x2＋sinx)dx＝________.答案　解析　∵′＝x2＋sinx，∴＝.2．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．答案　解析　S＝ʃx2dx＝x3

7、＝.3．ʃ(x2＋1)dx＝________.答案　12解析　ʃ(x2＋1)dx＝

8、＝×33＋3＝12.4．由y＝cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为__________________．答案　ʃ0cosxdx－ʃcosxdx＋ʃ2πcosxdx解析　如图：阴影部分的面积为S＝ʃ0cosxdx

9、－.5．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则ʃf(－x)dx的值等于(　　)A.B.C.D.答案　A解析　由于f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是ʃf(－x)dx＝ʃ(x2－x)dx＝

10、＝.题型一　定积分的计算例1　求下列定积分：(1)ʃx(x＋1)dx；(2)ʃdx；(3)ʃ0sin2dx.思维启迪：化简被积函数，由定积分的性质将其分解成各个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解．解　(1)ʃx(x＋1)dx＝ʃ(x2＋x)dx＝ʃx2dx＋ʃxdx＝x3

11、＋x2

12、＝＋

13、＝.(2)ʃdx＝ʃe2xdx＋ʃdx＝e2x

14、＋lnx

15、＝e4－e2＋ln2－ln1＝e4－e2＋ln2.(3)ʃ0sin2dx＝ʃ0dx＝ʃ0dx－ʃ0cosxdx＝x

16、0－sinx

17、0＝－＝.探究提高　计算一些简单的定积分，解题的步骤：①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；②把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；③分别用求导公式找到一个相应的原函数；④利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；⑤计算原始定积分的值．求下列定积分：(1)ʃ(4x3＋3x2－x)dx；(2)ʃdx；(3

18、)ʃ(cosx＋ex)dx；(4)ʃ

19、1－x

20、dx.解　(1)ʃ(4x3＋3x2－x)dx＝ʃ(4x3)dx＋ʃ(3x2)dx－ʃxdx＝x4

21、＋x3

22、－x2

23、＝(24－0)＋(23－0)－(22－0)＝16＋8－2＝22.(2)ʃdx＝ʃxdx－ʃx2dx＋ʃdx＝

24、－

25、＋lnx

26、＝－＋ln2＝ln2－.(3)ʃ(cosx＋ex)dx＝ʃcosxdx＋ʃexdx＝sinx

27、＋ex

28、＝1－.(4)ʃ

29、1－x

30、dx＝ʃ(1－x)dx＋ʃ(x－1)dx＝

31、＋

32、＝－0＋－＝1.题型二　求曲边梯形的面积例2　如图所示，求由抛物线y＝f(x)＝－x2

33、＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．思维启迪：求出两切线交点M的坐标，将积分区间分为两段、.解　由题意，知抛物线y＝f(x)＝－x2＋4x