.平面与平面垂直

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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn10.7平面与平面垂直【知识网络】1、平面与平面垂直的性质；2、平面与平面垂直的判定；3、两平面垂直性质与判定的应用。【典型例题】例1：（1）二面角α—EF—β是直二面角，C∈EF，ACα，BCβ,∠ACF=30°,∠ACB=60°，则cos∠BCF等于（）A．B．C．D．答案：D。解析：由，得。（2）M，N，P表示三个不同的平面，则下列命题中，正确的是（）A．若M⊥P，N⊥P，则M∥NB．若M⊥N，N∩P=φ，则M∩P≠φC．若M、N、P两两相交，则有三条交线D．若N∩P=a，P∩M=b，M⊥N，则a⊥b答案B。解析：N∩P

2、=φ，则N//P，显然M∩P≠φ。（3）α、β表示平面，l表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三个事实①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：C提示：由①②③、①③②是正确命题，由②③不能得到①；（4）直二面角α－－β的棱上有一点A，在平面α、β内各有一条射线AB，AC与成450，AB，则∠BAC=。答案：600或1200。解析：分B、C在A点的同侧和异侧两种情况。（5）设是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：①若则；②若，则；③若，则或；④若则。其中正确的命题是___；答案：①③④

3、。解析：②中a可以平行于β，也可以和β斜交。例2：已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值。答案：.（1）证明：连接BD.为等边三角形.是AB中点，面ABCD，AB面ABCD，面PED，PD面PED，面PED.面PAB，面PAB.（2）解：平面PED，PE面PED，连接EF，PED，为二面角P—AB—F的平面角.设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.在即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为例3：已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面B

4、CD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？答案：证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.又∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴由AB2=AE·AC得故当时，平面BEF⊥平面ACD.例4：如图：在直角三角形ABC

5、中，已知AB=a，∠ACB=30o，∠B=90o,D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，二面角A'-BD-C的大小记为θ。EAFDCB⑴求证：平面A'EF^平面BCD；⑵θ为何值时A'B^CD；⑶在⑵的条件下，求点C到平面A'BD的距离。答案：⑴由△BAC为Rt△,∠C=AB=∵D为AC中点，∴AD＝BD＝DC∵△ABD为正三角形又∵E为BD中点∴BD⊥AE，BD⊥EF又由A′EEF＝E，且A′E、EF平面A′EFBD⊥平面A′EF∴面A′EF⊥平面BCDEA′′“‘FCD(2)BD⊥AE′,BD⊥EF得∠A′EF为二面角A′-BD-C的平面角的大小即∠

6、A′EF＝延长FE到G，使A′GGF于G，连结BG并延长交CD于H，若A′BCD　则BHCD在Rt△BHD中，　∠BHD=又∵GE⊥BD，E为BD中点，BD＝AB＝a由得在直角三角形A′EG中＝（3）用等积法易得所求距离为：【课内练习】1．直线AB与直二面角α——β的两个面分别交于A、B两点，且A、B都不在棱上，设直线AB与α、β所成的角分别为θ、，则θ+的取值范围是（）A、B、C、D、答案：B。解析：在Rt△A1BB1中，A1B>BB1，即，即，∴。2．如图所示，四边形ABCD中，AD//BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构

7、成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是（）A、平面ABD⊥平面ABCB、平面ADC⊥平面BDCC、平面ABC⊥平面BDCD、平面ADC⊥平面ABC答案D解析：由题中知，在四边形ABCD中，CD⊥BD，在三棱锥A—BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD，又因为AB⊥AD，所以，AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC