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1、放缩法技巧及经典例题讲解一．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量，使，由到叫做“放”，由到叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若（2），，，（3）（4）（5）若，则（6）（7）（因为）（7）或（8），（9），（10）【经典回放】例1、设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.【解析】(Ⅰ)依题意,,又,所以；(Ⅱ)当时,,两式相减得整理得,即,又故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.(Ⅲ)当时,；当时,；当时,,此时综上,对一切正整数,有.例2：【经典例题】例1、设数列满足（1）求的通项公式；（2）若求
2、证：数列的前n项和分析：（1）此时我们不妨设即与已知条件式比较系数得又是首项为2，公比为2的等比数列。.（3）由（1）知.当时,当n=1时，=1也适合上式，所以，故方法一：，(这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有执果索因的分析才可推测出.).方法二:在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n3时,我们看:易验证当n=1，2时.综上例2、已知正项数列满足（1）判断数列的单调性；（2）求证：分析：（1），即故数列{}为递增数列.(2)不妨先证再证：原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法.当时，.易验证当n=
3、1时,上式也成立.综上,故有成立.经典方法归纳：一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．例2、已知求证：证明：若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上
4、一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例1．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1)求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；例2．已知数列满足：．求证:.证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．2．放缩后成等比数列，再求和例2．（1）
5、设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{an}中，，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：．解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．（1）求a4、a5，并写出an的表达式；（2）令，
6、证明解（1）由已知得，.（2）因为，所以.又因为，所以 =.综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）．三.裂项放缩1、若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例1.已知n∈N*，求。证明：因为，则，证毕。例2、已知an=n，求证：＜3．证明：=＜1＋＜１＋==1＋(－)=1＋1＋－－＜2＋＜3．本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.例3.已知且，求证：对所有正整数n都成立。证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。2、固定一部分项，放缩另外的项；例4、求证：证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩
7、的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。例5、设求证：解析又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，于是例10设数列满足，当时证明对所有有；（02年全国高考题）解析用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论。3.添减项放缩例11设，求证.简
