2018版高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题2 数列 第4讲 数列求和教学案 理

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1、第4讲　数列求和题型1　数列中an与Sn的关系(对应学生用书第11页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．数列{an}中，an与Sn的关系：an＝2．求数列{an}通项的方法：(1)叠加法形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的数列应用叠加法求通项公式，an＝a1＋f(k)(和可求)．(2)叠乘法形如＝f(n)(n≥2)的数列应用叠乘法求通项公式，an＝a1···…·(积可求)．(3)待定系数法形如an＝λan－1＋μ(n≥2，λ≠1，μ≠0)的数列应用待定系

2、数法求通项公式，an＋＝λ．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】　(考查已知an与Sn的递推关系求Sn)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2.若首项a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.[解析]　因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，故{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1.Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(31－1)＋(32－1)＋…＋(3n－1)＝(31

3、＋32＋…＋3n)－n＝－n＝－n，所以Sn＝－n＝.[答案]　【典题2】　(考查已知an与Sn的递推关系求an)数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足＝1(n≥2)．求数列{an}的通项公式．[解]　由已知，当n≥2时，＝1，所以＝1，即＝1，所以－＝.又S1＝a1＝1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝，即Sn＝.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.因此an＝[类题通法]给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－

4、1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式时，务必验证n＝1时的情形■对点即时训练………………………………………………………………………·1．已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2018＝(　　)A．－1　B．C．1D．2D　[由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，于是归纳可得a3n－2＝，a3n－1＝2，a3n＝－1，因此

5、a2018＝a3×672＋2＝2.故选D.]2．已知数列{an}前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝__________.n·2n(n∈N*)　[由Sn＝2an－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)．]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T1、T2、T3、T4

6、、T5、T7、T8、T10、T11、T12)题型2　裂项相消法求和(答题模板)(对应学生用书第12页)裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．(2017·全国Ⅱ卷T15、2015·全国Ⅰ卷T17、2015·全国Ⅱ卷T16)■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】　(本小题满分12分)(2015·全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，.①(1)求{an}

7、的通项公式；(2)设，②求数列{bn}的前n项和.【导学号：07804027】[审题指导]题眼挖掘关键信息①看到a＋2an＝4Sn＋3，想到a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，两式作差，求{an}.②看到bn＝，想到先求bn，想到能否裂项.[规范解答]　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知.③1分两式相减可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，2分即.④由于⑤，所以an＋1－an＝2.4分又由a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.5分所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列

8、，通项公式为an＝2n＋1.6分(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝.⑥8分设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.12分[阅卷者说]易错点防范措施③忽视an与Sn的关系导致思路不清.an＝Sn－Sn－1(n≥2)是联系an与Sn的桥梁，常借助其实现互化关系.④忽视化简、因式分解致误.当等式中出现二元二次方程时，常考虑因式分解.⑤忽视题设条件an＞0，导致增解.对题设条件可适当标注，以引起注意，同时解题后要反思总结.⑥忽视裂项或裂项后与原式不等价.形如的数列