2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（天津卷，含解析）

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1、绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理天津卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本

2、卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A)P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh.·球的体积公式.其中S表示棱柱的底面面积，其中表示球的半径．h表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合，则（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】,选B.（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（A）（B）1（C）（D）3【答案】【解析】目标函数为四边形ABCD及其内

3、部，其中，所以直线过点B时取最大值3，选D.（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】【解析】依次为,，输出，选C.（4）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】（5）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】由题意得，选B.（6）已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的

4、大小关系为（A）（B）（C）（D）【答案】（7）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（A），（B），（C），（D），【答案】【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．（8）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】所以，综上．故选A．第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为.【答案】

5、【解析】为实数，则.（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.【答案】【解析】设正方体边长为，则，外接球直径为（11）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.【答案】2【解析】直线为，圆为，因为，所以有两个交点（12）若，，则的最小值为___________.【答案】【解析】，当且仅当时取等号（13）在中，，，.若，，且，则的值为___________.【答案】（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一

6、个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】【解析】三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.【答案】(1).(2)16.（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到

7、乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【答案】(1)(2)【解析】（Ⅰ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.（Ⅱ）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.（17）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-EM

8、-N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.【答案】（1）证明见解析（2）（3）或（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.所以，线段AH的长为或.18.（本小题满分13分）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.